Limite della successione degli integrali

[thedarkhero]

Teorema: sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di funzioni Riemann integrabili su $[a,b]$ compatto di $RR$.
Se $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente a $f$ allora $lim_(n->oo)\int_{a}^{b} f_n(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Esercizio: sia $g(x)={(cosx,if |x|<=pi/2),(0,if |x|>pi/2):}$ e sia $f_n(x)=1/ng(x/n)$.
$||f_n||_(oo)=1/n||g||_(oo)=1/n*1=1/n$ dunque la successione $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente alla funzione identicamente nulla $0$.
$\int_{-oo}^{oo} f_n(x) dx=\int_{-npi/2}^{npi/2} 1/ncos(x/n) dx$ perchè al di fuori dell'intervallo $[-npi/2,npi/2]$ la funzione $f_n$ è nulla.
Applicando poi la sostituzione $y=x/n$ si ottiene $\int_{-npi/2}^{npi/2} 1/ncos(x/n) dx=\int_{-pi/2}^{pi/2} cosy dy$ che vale $2$ $AAn\inNN$.
Quindi la successione $(\int_{-oo}^{oo} f_n(x) dx)_(n\inNN)$ è costantemente uguale a 2 e ha quindi limite 2.
Ma dal teorema precedente dovrebbe seguire che essendo $(f_n)_(n\inNN)$ uniformemente convergente a 0 si ha $lim_(n->oo)\int_{-oo}^{oo} f_n(x) dx=\int_{-oo}^{oo} 0 dx=0$.
Dove sbaglio?

[dissonance]

Guarda bene il teorema precedente. Tra le ipotesi c'è pure la compattezza del dominio di integrazione.

[thedarkhero]

Giusto. In generale come si può verificare operativamente se il dominio d'integrazione è compatto?

[dissonance]

???

Leggendolo in calce al simbolo \(\int\), no? In \(\int_a^b\) il dominio è compatto. In \(\int_{-\infty}^{+\infty}\) no. Eccetera.

[thedarkhero]

Intendevo come si può capire se un insieme è compatto, ma giustamente Mistake mi ha ricordato che basta controllare che sia chiuso e limitato. Grazie a entrambi!