Limite della successione an^1/an con an divergente positivam

[Gmork]

Salve a tutti,

Qualcuno mi potrebbe dimostrare il seguente limite di successione (definita nei naturali con valori nei reali) del tipo:



Sto impazzendo T_T

[gac1]

Forse basta osservare che
[tex]x^{1/x} = e^{(log x)/x}[/tex]

[Gmork]

A dire il vero non saprei. Il prof lo ha dimostrato utilizzando il Teorema dei Carabinieri, solo che prima ha fatto delle considerazioni per an divergente e n divergente in cui per colpa degli indici che si assomigliavano non ho capito nulla.

[Alexp1]

La strada suggerita da "gac" è corretta...

[Gmork]

Grazie della risposta.

Comunque ancora il numero di nepero non è stato trattato. Esiste qualche altra dimostrazione?

[Gaal Dornick]

Una precisazione: la formula suggerita da gac è valida solo per $x>0$. Ma definitivamente $a_n>0$, e quindi la si può usare.

[Gmork]

Si ma se si volesse dimostrare senza l'ausilio del numero di nepero? Per esempio nella dimostrazione a cui ho assistito si arrivava alla seguente conclusione:



in cui essendo che il primo membro e l'ultimo convergono ad 1 anche ciò che sta in mezzo fa lo stesso.

L'unica cosa è che non so come arrivare a questa espressioni dalle ipotesi fatte si convergenza di an

[gac1]

Senza conoscere log ed exp, forse si può fare usando la disuguaglianza di Bernoulli.
Poniamo [tex]b_n = a_n^{1/a_n}-1[/tex]; chiaramente si ha [tex]b_n > 0[/tex] definitivamente, dal momento che
[tex]a_n > 1[/tex] definitivamente.
Abbiamo che
[tex]\sqrt{a_n} = (1+b_n)^{a_n/2}\geq 1+[a_n/2] b_n\geq 1+(a_n/2-1) b_n,[/tex]
dove [...] indica la parte intera.
Concludiamo quindi che, definitivamente,
[tex]0 < b_n \leq (\sqrt{a_n}-1) / (a_n/2-1).[/tex]
Poiché [tex]a_n\to +\infty[/tex], l'ultima successione converge a 0; per il teorema del confronto si ha che
[tex]b_n \to 0[/tex], e dunque
[tex]a_n^{1/a_n} = 1 + b_n \to 1.[/tex]

[gac1]

Le disuguaglianze che hai scritto tu valgono scegliendo
[tex]\overline{n} = [a_n][/tex] (parte intera di [tex]a_n[/tex]).

[Gmork]

ma eventualmente sarebbe corretto dimostrarlo con le conseguenze della proprietà d'Archimede? ossia:

[tex]n
[tex]n^{1/n+1}

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