Limite della successione 2n!/n^n
Ciao a tutti!
riprendendo in mano analisi dopo qualche tempo mi sono imbattuto nel limite per n tendente ad infinito di $((2n)!)/n^n$
di primo acchito lo ho ritenuto banale e ho pensato tendesse a zero in quanto n^n cresce più rapidamente di n!, ma poi ho realizzato che (2n)! è ben diverso da 2n! e mi sono bloccato...
sono convinto che al soluzione sia banale, ma attualmente sono ancora un pò arrugginito...
qualcuno saprebbe aiutarmi?
riprendendo in mano analisi dopo qualche tempo mi sono imbattuto nel limite per n tendente ad infinito di $((2n)!)/n^n$
di primo acchito lo ho ritenuto banale e ho pensato tendesse a zero in quanto n^n cresce più rapidamente di n!, ma poi ho realizzato che (2n)! è ben diverso da 2n! e mi sono bloccato...
sono convinto che al soluzione sia banale, ma attualmente sono ancora un pò arrugginito...
qualcuno saprebbe aiutarmi?
Risposte
Bòn, quando c'è da paragonare un fattoriale con un $n^n$ io uso ormai "standard" questa:
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling
Puoi anche usare le "stime elementari" (così le chiama l'articolo lnkato da Gatto) che sono più semplici da dimostrare e anche da ricordare (la formula di Stirling è un bel mattone):
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... elementari
Con queste ottieni una stima dall'alto e una dal basso della tua successione. Se la stima dall'alto tende a $0$ oppure quella dal basso tende a $+infty$ (mi pare che sia il tuo caso) puoi concludere.
Comunque, quando in una successione $a_n>0$ vedi fattoriali ed esponenziali, se sospetti che $a_n$ sia infinitesima puoi provare a dimostrarlo considerando la serie $sum_{n=0}^infty a_n$. Se dimostri, applicando il criterio della radice o del rapporto, che la serie è convergente, hai dimostrato collateralmente che $a_n\to0$. Questo almeno è il primo trucco che mi viene in mente in casi come questo; per la tua successione non funziona e questo induce a credere che il limite non sia $0$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... elementari
Con queste ottieni una stima dall'alto e una dal basso della tua successione. Se la stima dall'alto tende a $0$ oppure quella dal basso tende a $+infty$ (mi pare che sia il tuo caso) puoi concludere.
Comunque, quando in una successione $a_n>0$ vedi fattoriali ed esponenziali, se sospetti che $a_n$ sia infinitesima puoi provare a dimostrarlo considerando la serie $sum_{n=0}^infty a_n$. Se dimostri, applicando il criterio della radice o del rapporto, che la serie è convergente, hai dimostrato collateralmente che $a_n\to0$. Questo almeno è il primo trucco che mi viene in mente in casi come questo; per la tua successione non funziona e questo induce a credere che il limite non sia $0$.
se $a_n=\frac{(2n)!}{n^n}$ io farei (che e' piu' o meno uno dei suggerimenti di dissonance) il limite di
$a_{n+1}/a_n=\frac{(2n+2)!n^n}{(2n)!(n+1)^{n+1}}=(2n+1)(2n+2)(\frac{n}{n+1})^n\frac{1}{n+1}=2(2n+1)/(1+1/n)^n$
che tende a infinito (il denominatore tende a $e$)
E' facile vedere che allora $a_n\to\infty$
$a_{n+1}/a_n=\frac{(2n+2)!n^n}{(2n)!(n+1)^{n+1}}=(2n+1)(2n+2)(\frac{n}{n+1})^n\frac{1}{n+1}=2(2n+1)/(1+1/n)^n$
che tende a infinito (il denominatore tende a $e$)
E' facile vedere che allora $a_n\to\infty$
grazie a tutti, credo di aver capito 
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