Limite della restrizione.
E' facile dimostrare che:
Dati:
$f : X sube RR rarr RR$, $x_0 in \barRR$ di accumulazione per $A$ e per $X$, e $l in \bar RR$.
$\lim_{x \to x_0}f(x) = l => \lim_{x \to x_0, x in A}f(x) = l$,
dove $A$ è una parte propria e non vuota di X.
Io penso che sia immediato, perchè se la definizione di limite è verificata per tutti gli elementi di $X$ che soddisfano quella data condizione, a maggior ragione è verificato per elementi di una parte di $X$, che in quanto elementi di $X$ oltre che di una sua parte, soddisfano automaticamente la condizione.
Però non riesco a dimostrare il viceversa. Cioè non riesco a trovare un controesempio. Chi mi aiuta?
Dati:
$f : X sube RR rarr RR$, $x_0 in \barRR$ di accumulazione per $A$ e per $X$, e $l in \bar RR$.
$\lim_{x \to x_0}f(x) = l => \lim_{x \to x_0, x in A}f(x) = l$,
dove $A$ è una parte propria e non vuota di X.
Io penso che sia immediato, perchè se la definizione di limite è verificata per tutti gli elementi di $X$ che soddisfano quella data condizione, a maggior ragione è verificato per elementi di una parte di $X$, che in quanto elementi di $X$ oltre che di una sua parte, soddisfano automaticamente la condizione.
Però non riesco a dimostrare il viceversa. Cioè non riesco a trovare un controesempio. Chi mi aiuta?
Risposte
Secondo me devi richiedere che $A$ sia aperto. Altrimenti la proposizione è falsa. Per esempio, considera la funzione segno:
$"sign"(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$.
Fatti un rapido grafico e ti accorgi che questa funzione non ammette limite per $x\to0$. Questo se la consideriamo come funzione definita in $RR$.
Ma restringila a $(0, +infty)$. In questo intervallo la funzione è identicamente uguale ad 1. Quindi ammette limite per $x\to0$, appunto 1.
Devi richiedere che $A$ sia aperto e contenga $x_0$. In quel caso la proposizione è vera, perché in quel caso trovi in $A$ un intorno di $x_0$, tipo $(x_0-delta, x_0+delta)$.
$"sign"(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$.
Fatti un rapido grafico e ti accorgi che questa funzione non ammette limite per $x\to0$. Questo se la consideriamo come funzione definita in $RR$.
Ma restringila a $(0, +infty)$. In questo intervallo la funzione è identicamente uguale ad 1. Quindi ammette limite per $x\to0$, appunto 1.
Devi richiedere che $A$ sia aperto e contenga $x_0$. In quel caso la proposizione è vera, perché in quel caso trovi in $A$ un intorno di $x_0$, tipo $(x_0-delta, x_0+delta)$.
Ho sbagliato a scrivere.
Cioè, il viceversa NON è vero, e io volevo trovare dei controesempi che me lo facessero capire, o almeno, anche una dimostrazione teorica. L'esempio della funzione "signum (x)" già mi basta.
P. S. - Che significa "insieme aperto", in parole quanto più povere possibile?
Cioè, il viceversa NON è vero, e io volevo trovare dei controesempi che me lo facessero capire, o almeno, anche una dimostrazione teorica. L'esempio della funzione "signum (x)" già mi basta.
P. S. - Che significa "insieme aperto", in parole quanto più povere possibile?
Quello di "insieme aperto" è un concetto legato allo spazio di riferimento. Il prototipo di questi spazi è sicuramente $RR$, e in $RR$ il prototipo di aperto è l'intervallo aperto, che conosci sicuramente.
Se ci pensi un attimo, ciò che distingue gli intervalli aperti dagli altri è l'avere un po' di spazio intorno ad ogni loro punto. Cioè, $I$ è un intervallo aperto se e solo se $I$ è un intervallo e per ogni punto $x\inI$ esiste $delta>0$ tale che $(x-delta, x+delta)$ è contenuto in $I$.
Allora basta estendere parola per parola questo concetto ad un insieme qualsiasi, per definire gli insiemi aperti. Diremo che $X\subRR$ è aperto se e solo se per ogni $x\inX$ esiste un $delta>0$ tale che $(x-delta, x+delta)\subX$.
Intuitivamente, comunque prendi un punto di $X$ puoi sempre spostarti un pochino in tutte le direzioni, senza uscire da $X$.
Se ci pensi un attimo, ciò che distingue gli intervalli aperti dagli altri è l'avere un po' di spazio intorno ad ogni loro punto. Cioè, $I$ è un intervallo aperto se e solo se $I$ è un intervallo e per ogni punto $x\inI$ esiste $delta>0$ tale che $(x-delta, x+delta)$ è contenuto in $I$.
Allora basta estendere parola per parola questo concetto ad un insieme qualsiasi, per definire gli insiemi aperti. Diremo che $X\subRR$ è aperto se e solo se per ogni $x\inX$ esiste un $delta>0$ tale che $(x-delta, x+delta)\subX$.
Intuitivamente, comunque prendi un punto di $X$ puoi sempre spostarti un pochino in tutte le direzioni, senza uscire da $X$.
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