Limite della parte intera
Una domanda su un limite:
$\lim_{h\to 0}[\frac{t}{h}]h=t$ ?
Per $[]$ intendo parte intera
$\lim_{h\to 0}[\frac{t}{h}]h=t$ ?
Per $[]$ intendo parte intera
Risposte
Idee tue?
Non so. Sto studiando la dimostrazione di un teorema e ad un certo punto il libro fa questo passaggio, probabilmente è dovuto a qualcosa che c'è prima e non è sempre valido (io speravo fosse immediato), ora provo a rivedere da capo la dimostrazione. Grazie comunque!
In realtà è una cosa elementare.
Si ha:
\[
\left[ \frac{t}{h}\right] = n \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{t}{n+1}< h\leq \frac{t}{n}
\]
per ogni naturale \(n\); quindi la funzione \(h\mapsto [t/h]\) decresce.
Ora, posto \(h_n=t/n\), si ha \(h_n\to 0^+\) e:
\[
\left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_n = t,\qquad \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_{n+1} = \frac{n}{n+1}\ t
\]
da cui, per \(h\in ]h_{n+1},h_n]\) si trae:
\[
\frac{n}{n+1}\ t = \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_{n+1} <\left[ \frac{t}{h}\right]\ h \leq \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_n= t
\]
e quindi l'uguaglianza da provare, per il teorema dei carabinieri.
Si ha:
\[
\left[ \frac{t}{h}\right] = n \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{t}{n+1}< h\leq \frac{t}{n}
\]
per ogni naturale \(n\); quindi la funzione \(h\mapsto [t/h]\) decresce.
Ora, posto \(h_n=t/n\), si ha \(h_n\to 0^+\) e:
\[
\left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_n = t,\qquad \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_{n+1} = \frac{n}{n+1}\ t
\]
da cui, per \(h\in ]h_{n+1},h_n]\) si trae:
\[
\frac{n}{n+1}\ t = \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_{n+1} <\left[ \frac{t}{h}\right]\ h \leq \left[ \frac{t}{h_n}\right]\ h_n= t
\]
e quindi l'uguaglianza da provare, per il teorema dei carabinieri.
Ok, grazie mille!
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