Limite della norma di funzione di più variabili

[10andry]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto oggi in un esercizio che chiedeva:

$ lim |(x, y)| to oo x^2 + y $
Come si svolge questa operazione? E nel caso il limite sia in un punto? Ad esempio 0,0 ?

[10andry]

Nessuno? Mi basta anche capire di che argomento si tratta perché non trovo nulla sulla teoria...venerdì ho l'esame vi prego!

[GhHardy]

Try to study the behaviour of the function in easy curves satisfying that the modulus of its points goes to infinity.

[gugo82]

Beh, non si capisce un gran ché dal testo dell'esercizio... Prova a scriverlo meglio.

[10andry]

$lim_(|x,y| ->oo) (x+y^2)$

Ecco, così forse si capisce...
Come dicevo, è il limite della norma(!?) Non lo trovo da nessuna parte...

[javicemarpe]

So, if I understood correctly, your problem is that you don't know what does "$|(x,y)|\to\infty$" mean, right?

[10andry]

Right!

[gugo82]

Semplicemente, ti viene chiesto di dire se esiste (e calcolare, nel caso) il limite della funzione $f(x,y) = x^2 + y$ quando la lunghezza del vettore $(x,y)$ tende a $+\infty$...

Dato che la lunghezza del vettore $(x,y)$ non è altro che il raggio vettore $r$ delle coordinate polari del punto $(x,y)$, l'esercizio si può risolvere passando in coordinate polari: infatti, fatto il passaggio, ti troverai a dover capire se esiste il limite della funzione $f(r\cos \theta , r\sin \theta)$ per $r\to +\infty$ (indipendentemente da $\theta$).

Prova.

[javicemarpe]

Also, you can try with cartesian coordinates. You can define a curve $\Gamma$ containing points with very large norm (norm tending to $\infty$). As an example, you can take a "good curve" satisfying that the coordinates of its points makes the expression of your function easy when you evaluate it at them. I don't want to give you the solution, but the point is to check the blues of your function in appropriated curves.

I think that a change of variables to polar coordinates can be a little bit confusing, at least in this case.