Limite della funzione:

[smaug1]

\(\displaystyle x \rightarrow \infty \)

\(\displaystyle \frac{x^4sen^2(\pi - 2arctgx)}{3 + x^2} = \frac{x^4(\pi - 2arctgx)^2}{3 + x^2} ? \)

il risultato dovrebbe venire \(\displaystyle 4 \)

è lecito poi scrivere

\(\displaystyle
\frac{x^4(\pi - 2x)^2}{x^2 + 3} ? \)

[Sk_Anonymous]

$[alpha=arctgx] rarr [x=tgalpha]$

$[sen(2alpha)=(2tgalpha)/(1+tg^2alpha)] rarr [sen(2alpha)=(2x)/(1+x^2)] rarr [sen^2(2alpha)=(4x^2)/(1+x^2)^2]$

$[sen^2(pi-2arctgx)=sen^2(pi-2alpha)=sen^2(2alpha)=(4x^2)/(1+x^2)^2]$

$lim_(x->oo)[(x^4sen^2(pi-2arctgx))/(3+x^2)]=lim_(x->oo)[(4x^6)/((3+x^2)(1+x^2)^2)]=4$

[smaug1]

ma come si fa a pensare queste cose???

[Sk_Anonymous]

Esperienza... Intendiamoci, avresti anche potuto utilizzare $[arctgx=pi/2-1/x+o(1/x)]$ per $[x->oo]$.

[smaug1]

cosa sarebbe? te lo domando perchè lo sviluppo di taylor dell'\(\displaystyle arctgx \) non è diverso?

[Sk_Anonymous]

Immagino che tu ti stia riferendo a questo:

$[arctgx=x-x^3/3+o(x^3)]$

per $[x->0]$. Tuttavia, esiste uno sviluppo anche per $[x->oo]$:

$[arctgx=pi/2-1/x+o(1/x)]$

In alcuni casi può risultare estremamente utile.

[_prime_number]

Ha usato la regola $arctan x + arctan(1/x) = \pi/2$ per $x>0$ e ha sviluppato con Taylor $arctan(1/x)$ per $x\to + \infty$ (infatti l'argomento va così a $0$ e puoi usare gli sviluppi di Mc Laurin).

Paola

[smaug1]

Wow grazie ragazzi questa cosa non la sapevo...molto utile, infatti adesso l'ho rifatto come mi avete consigliato e viene:


\(\displaystyle
\frac{4x^2 + o(x^2)}{x^2 + 3} = 4!! \)

Come si può capire di doverla utilizzare? Quando c'è di mezzo un \(\displaystyle \pi \) in modo tale da poterlo semplificare?

[Sk_Anonymous]

"prime_number":
Ha usato la regola $arctan x + arctan(1/x) = \pi/2$ per $x>0$ e ha sviluppato con Taylor $arctan(1/x)$ per $x\to + \infty$

In effetti, bisognerebbe scrivere:

$[arctgx=pi/2-1/x+o(1/x)]$ per $[x->+oo]$

$[arctgx=-pi/2+1/x+o(1/x)]$ per $[x->-oo]$

Grazie della precisazione.

"davidedesantis":
Come si può capire di doverla utilizzare? Quando c'è di mezzo un \(\displaystyle \pi \) in modo tale da poterlo semplificare?

Catalogare tutti i possibili casi di utilizzo mi sembra un po' arduo. Esperienza...