Limite della forma 1^infinito

[Pulcepelosa]

Salve a tutti!

Inanzitutto mi presento,
sono Federico, 25 anni di Vicenza
e sto al primo anno di università.
Viste le mie difficoltà con la matematica penso che passero' di qui spesso
In compenso posso darvi una mano con la meccanica e termodinamica.

Vi è un limite che non riesco a risolvere:
$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)$

Qualcuno mi puo' aiutare?

P.S. Davvero fantastico il mathml!

[Bartolomeo2]

Allora... premetto hce non sono matematico e ceh anch'io ho diverse difficoltà in matematica... però con i limiti qualche volta c'azzecco... questo dovrebbe tendere a 1

Allora...
$lim_(x->0)(3*2^x-2*3^x)^(1/x)=lim(x->0)root(x)(3*2^x-2*3^x)$

quello che hai sotto radice con $x->0$ vale circa 1.... dunque ogni radice (che sia quadratica, cubica, o come nel tuo caso $1/x$ con x quasi 0, etc...) di 1 è 1...

[_nicola de rosa]

"Pulcepelosa":Salve a tutti!

Inanzitutto mi presento,
sono Federico, 25 anni di Vicenza
e sto al primo anno di università.
Viste le mie difficoltà con la matematica penso che passero' di qui spesso
In compenso posso darvi una mano con la meccanica e termodinamica.

Vi è un limite che non riesco a risolvere:
$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)$

Qualcuno mi puo' aiutare?

P.S. Davvero fantastico il mathml!

$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)=lim_{x to 0}e^(ln(3*2^x-2*3^x)^(1/x))=lim_{x to0}e^((ln(3*2^x-2*3^x))/x)$

Ora se $x->0$, vediamo a cosa tende $(ln(3*2^x-2*3^x))/x$. Avendo una forma del tipo $0/0$ applichiamo de l'hopital ed otteniamo
$lim_{x to 0}(ln(3*2^x-2*3^x))/x=lim_{x to 0}(3*ln2*2^x-2*ln3*3^x)/(3*2^x-2*3^x)=3*ln2-2*ln3=ln(2^3)-ln(3^2)=ln8-ln9=ln(8/9)$ per cui
$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)=e^(ln(8/9))=8/9$

[Bartolomeo2]

cavolo... ho sbagliato... non posso cancellare il post????

[Pulcepelosa]

Geniale...
Ti ringrazio.

Non avevo pensato all'hopital perché mi hanno proibito di usarlo per risolvere i limiti del compito,
ed in piu' quello non è un limite che mi ha dato il prof..

Puo' essere che ci siano altri modi di risolverlo senza hopital?

[_nicola de rosa]

"Pulcepelosa":Geniale...
Ti ringrazio.

Non avevo pensato all'hopital perché mi hanno proibito di usarlo per risolvere i limiti del compito,
ed in piu' quello non è un limite che mi ha dato il prof..

Puo' essere che ci siano altri modi di risolverlo senza hopital?

sviluppi in serie:
$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)=lim_{x to 0}e^(ln(3*2^x-2*3^x)^(1/x))=lim_{x to0}e^((ln(3*2^x-2*3^x))/x)$
Ora $2^x=1+x*ln2+o(x^2)$,$3^x=1+x*ln3+o(x^2)$, per cui
$3*2^x-2*3^x=3+x*3ln2-2-x*2ln3+o(x^2)=1+x*ln8-x*ln9+o(x^2)=1+x*ln(8/9)+o(x^2)$ per cui
$ln(3*2^x-2*3^x)/x=ln(1+x*ln(8/9))/x$ che per il limite notevole tende a $ln(8/9)$ per $x->0$. per cui
$lim_{x to 0}(3*2^x-2*3^x)^(1/x)=lim_{x to 0}e^(ln(3*2^x-2*3^x)^(1/x))=lim_{x to0}e^((ln(3*2^x-2*3^x))/x)=e^(ln(8/9))=8/9$