Limite della derivata e del rapporto incrementale
Salve a tutti,
Ho un esercizio così posto:
Sia $f: [x_0,\infty) \to RR$. Posto:
$f'_+ (x_0) = lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
E sia:
$\lambda_+ = lim_(x->x_0^+)f'(x)$
Fornire un esempio in cui esiste $f'_+ (x_0)$ ma non $\lambda_+$ ed uno in cui esiste $\lambda_+$, ma non $f'_+ (x_0)$.
Ora io avrei già affermato che le due devono per forza coincidere. Il rapporto incrementale esprime il valore della derivata nel punto, quindi non vedo come essi non possano coincidere, essendo entrambi destri. Potrei capire e fornire degli esempi nel caso si richiedesse che la derivata destra e sinistra non coincidano, ma così mi risulta difficile da risolvere. Qualche aiutino?
Ho un esercizio così posto:
Sia $f: [x_0,\infty) \to RR$. Posto:
$f'_+ (x_0) = lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
E sia:
$\lambda_+ = lim_(x->x_0^+)f'(x)$
Fornire un esempio in cui esiste $f'_+ (x_0)$ ma non $\lambda_+$ ed uno in cui esiste $\lambda_+$, ma non $f'_+ (x_0)$.
Ora io avrei già affermato che le due devono per forza coincidere. Il rapporto incrementale esprime il valore della derivata nel punto, quindi non vedo come essi non possano coincidere, essendo entrambi destri. Potrei capire e fornire degli esempi nel caso si richiedesse che la derivata destra e sinistra non coincidano, ma così mi risulta difficile da risolvere. Qualche aiutino?
Risposte
Questo è un esercizio molto utile a disinnescare un fraintendimento comunissimo. Vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#482708
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#482708
Ti ringrazio per la risposta
Ho capito che è possibile, ad esempio per funzioni non continue in un certo punto $x_0$, fornire esempi in cui il $lim_(x->0^+)f'(x)$ esista finito (ed eventualmente coincida $lim_(x->0^-)f'(x)$), ma che la funzione non sia poi derivabile in $x_0$, e che quindi $lim_(x->0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) != lim_(x->0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$.
Prendiamo infatti ad esempio (come hai fatto tu in questa discussione: https://www.matematicamente.it/forum/dir ... 53021.html):
$f(x) = {(1 x>0), (0 x=0):}$
Allora si verifica come $lim_(x->0^+)f'(x) = 0$, ma $lim_(x->0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = \oo$, è corretto?
Ora invece ho difficoltà a trovare un esempio opposto...
Ho capito che è possibile, ad esempio per funzioni non continue in un certo punto $x_0$, fornire esempi in cui il $lim_(x->0^+)f'(x)$ esista finito (ed eventualmente coincida $lim_(x->0^-)f'(x)$), ma che la funzione non sia poi derivabile in $x_0$, e che quindi $lim_(x->0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) != lim_(x->0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$.
Prendiamo infatti ad esempio (come hai fatto tu in questa discussione: https://www.matematicamente.it/forum/dir ... 53021.html):
$f(x) = {(1 x>0), (0 x=0):}$
Allora si verifica come $lim_(x->0^+)f'(x) = 0$, ma $lim_(x->0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = \oo$, è corretto?
Ora invece ho difficoltà a trovare un esempio opposto...
Cerca bene nel topic che ho linkato prima, che un esempio opposto c'è. "Esempio opposto" significa un esempio di funzione derivabile in un punto ma con la derivata non continua nello stesso.
Interessante. In realtà si chiede una funzione derivabile il cui limite da destra della derivata non esiste, non solo con derivata discontinua nel punto. Però il famoso "teorema di Darboux da destra" dovrebbe far coincidere le due situazioni.
Ok dovrei aver trovato l'esempio
${(0, x=0),(x^2sin(1/x), x > 0):}$
Infatti risulta:
$lim_(x->0^+)(f(x)-f(0))/(x-0) = 0$, mentre: $lim_(x->0^+)2xsin(1/x)-cos(1/x)$ non esiste.
Grazie mille per l'aiuto e il chiarimento
${(0, x=0),(x^2sin(1/x), x > 0):}$
Infatti risulta:
$lim_(x->0^+)(f(x)-f(0))/(x-0) = 0$, mentre: $lim_(x->0^+)2xsin(1/x)-cos(1/x)$ non esiste.
Grazie mille per l'aiuto e il chiarimento
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