Limite del rapporto incrementale o limite delle derivate?
Buonasera a tutti, sto studiando Analisi I ma nella parte delle derivate comincio ad incontrare le prime difficoltà. Per verificare la derivabilità in un punto devo verificare che il limite del rapporto incrementale destro e sinistro coincidano. In certi casi si può però anche solamente fare il limite della derivata prima al tendere a quel punto, ma questo metodo non è sempre utilizzabile. Quali sono i casi in cui si può usare?
Risposte
Cerca su internet teorema di Darboux.
Il classico esempio dove non si riesce a derivare e calcolare i limite destro e sinistro è \( f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) \quad x \ne 0 \\ 0 \quad x=0 \end{cases} \) , poiché se derivi questa $f$ a tratti si ha che $\lim_{x \rarr 0} f'(x)$ non esiste.
Guarda qui, dove è riportato lo stesso esempio.
Il classico esempio dove non si riesce a derivare e calcolare i limite destro e sinistro è \( f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) \quad x \ne 0 \\ 0 \quad x=0 \end{cases} \) , poiché se derivi questa $f$ a tratti si ha che $\lim_{x \rarr 0} f'(x)$ non esiste.
Guarda qui, dove è riportato lo stesso esempio.
Grazie mille! Quindi devo vedere se valgono le hip del teorema di Darboux e in quel caso posso usare il limite delle derivate prime?
L'idea è quella
Grazie mille! Avrei però un ulteriore dubbio, mi scusi per il disturbo. Nel primo esempio del link che mi ha citato applica il limite delle derivate.Come fa però a dire che anche in x=2 è derivabile? Cioè dovrebbe fare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro ma in questo caso la derivabilità sarebbe già stata provata da quest'ultimo passo e non servirebbe più fare il limite della derivata.Grazie per la disponibilità e scusi il disturbo.
Ho 21 anni e sono uno studente, non darmi del Lei per favore 
Credo tu non abbia capito:
Chiaro, quella è la definizione e funziona sempre. Ma la (tua) domanda è: "Quando posso evitare di fare il limite del rapporto incrementale e fare semplicemente i limiti delle derivate calcolate con le "regole di derivazione? "
La risposta è nel teorema/pagina che ti ho linkato, che scrive:
La $f'(x)$ dell'esempio ha limite finito per $x \rarr 2$, quindi è derivabile anche in $2$ e vale l'enunciato
Credo tu non abbia capito:
"Appinmate":
Come fa però a dire che anche in x=2 è derivabile? Cioè dovrebbe fare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro [...]
Chiaro, quella è la definizione e funziona sempre. Ma la (tua) domanda è: "Quando posso evitare di fare il limite del rapporto incrementale e fare semplicemente i limiti delle derivate calcolate con le "regole di derivazione? "
La risposta è nel teorema/pagina che ti ho linkato, che scrive:
Sia $f$ una funzione definita e derivabile in un intorno di un punto $c$ escluso il punto $c$, ma continua anche in $c$. Se la funzione $f'$ ha limite finito, per $x \rarr c$, essa è derivabile anche in $c$ e si ha: $f'(c) = \lim_{x \rarr c} f'(x)$
La $f'(x)$ dell'esempio ha limite finito per $x \rarr 2$, quindi è derivabile anche in $2$ e vale l'enunciato
Comunque è più istruttivo l'altro esempio (quello che ho citato nel primo messaggio), dove il limite della derivata non esiste nemmeno.
Perfetto grazie mille, sei molto gentile! Quindi sostanzialmente se io ho una funzione derivabile ovunque fuorché nel punto $xo$ ma ivi continua e se faccio la derivata e mi viene che per x che tende a x0 è continua allora posso usare il limite della derivata giusto? Grazie moltissimo.
Sì
Perfetto grazie mille, ora mi è chiaro. 
Quindi solo per avere conferma di avere capito bene. La radice cubica di x so che è un punto di flesso. Ma se facessi finta di non saperlo e volessi vedere se in 0 è derivabile, non potrei usare il metodo delle derivate perché in 0 il limite della derivata prima non è finito, dovrei quindi usare il limite del rapporto incrementale giusto? Invece nel caso di una parabola di equazione y=x^2 potrei usare il metodo delle derivate in quanto per esempio in 0 il limite della derivata prima è finito,giusto?
La radice cubica di x so che è un punto di flesso
$\sqrt(x)$ ha un punto di flesso.
non potrei usare il metodo delle derivate perché in 0 il limite della derivata prima non è finito
Rileggi l'enunciato: il teorema dice che se il limite è finito, allora è derivabile e vale $\lim_{x \rarr 0} f'(x)= f'(0)$. Non dice niente se il limite non è finito, perché questo implica che la funzione non è derivabile.
Nota che è ben diverso dall'esempio proposto da me con $x \sin(\frac{1}{x})$, perché lì il limite non esiste
Ok dovrei (forse avere capito ). Se il limite della derivata non è finito allora devo usare il limite del rapporto incrementale come ad esempio in $sqrt (x) $ la cui derivata è $1/(2sqrt (x)) $ e il limite per x che tende a 0 è infinito. Invece in un caso tipo $x^2$ la cui derivata è $2x $ la quale in 0 ammette limite finito allora posso usare il limite delle derivate. Ho ragione?
No ho riletto bene la tua risposta. In pratica se il limite della derivata prima è infinito allora la funzione non è derivabile, se il limite della derivata prima è finito posso usare il lim delle derivate mentre se non esiste devo usare il lim del rapporto incrementale. È così o mi sta sfuggendo qualcosa?
Ci tengo a precisare che con limite della derivata prima intendo proprio il limite della derivata. quindi il lim di $1/(2sqrt(x))$ . Grazie mille per l'aiuto che mi dai. 
Nel primo degli ultimi tuoi tre messaggi hai fatto confusione tra non esistenza del limite e limite non finito.
Per la precisione qui:
Se il limite della derivata, nel caso $\lim_{x \rarr 0} \frac{1}{2\sqrt(x)} \rarr +\infty$, allora la funzione non è ivi derivabile. Quello che dici te invece è che in questo caso serve fare il rapporto incrementale, che però non ti fornirà altro che una conferma del fatto che la funzione qui non è derivabile. Se il limite non fosse esistito, allora avresti dovuto calcolarti il limite del rapporto incrementale.
Nel caso di $f(x)=x^2$ le ipotesi del teorema sono ovviamente verificate e pertanto $f'(0)=\lim_{x \rarr 0} f'(x)$.
Per la precisione qui:
Se il limite della derivata non è finito allora devo usare il limite del rapporto incrementale come ad esempio in $\sqrt(x)$ la cui derivata è $\frac{1}{2\sqrt(x)}$ e il limite per x che tende a 0 è infinito.
Se il limite della derivata, nel caso $\lim_{x \rarr 0} \frac{1}{2\sqrt(x)} \rarr +\infty$, allora la funzione non è ivi derivabile. Quello che dici te invece è che in questo caso serve fare il rapporto incrementale, che però non ti fornirà altro che una conferma del fatto che la funzione qui non è derivabile. Se il limite non fosse esistito, allora avresti dovuto calcolarti il limite del rapporto incrementale.
Nel caso di $f(x)=x^2$ le ipotesi del teorema sono ovviamente verificate e pertanto $f'(0)=\lim_{x \rarr 0} f'(x)$.
Perfetto adesso (dovrebbe) essere tutto chiaro. Grazie per la disponibilità.
Di nulla, buono studio
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