Limite del rapporto incrementale

[Knuckles1]

$f(x)=(|x-1|+|x|)x^2$

è definita su tutto R... ed è sicuramente derivabile dove è definita tranne che in zero e in uno dove dobbiamo valutarne la derivabilità...
per questo faccio il limite del rapporto incrementale...
il problema è come si fa?

ho provato a traformare la funzione in

$f(x)={((1-2x)x^2,if x<=0),(x^2,if 01):}$ però poi come si fanno i limiti dei rapporti incrementali?

[Lord K]

Devi sostanzialmente calcolare la derivata proveniendo da direzioni differenti ovvero sono da calcolare:

$lim_(x rightarrow 1^(+)) f'(x)$

$lim_(x rightarrow 1^(-)) f'(x)$

$lim_(x rightarrow 0^(+)) f'(x)$

$lim_(x rightarrow 0^(-)) f'(x)$

Se a due a due vengono uguali ovviamente è derivabile, se non lo sono o se tendono all'infinito ci sono dei punti di singolarità. Prova! Poi eventualmente se ne può ridiscutere!

[kekko989]

Calcoli le derivate. Ovvero $f'(x):
$ 2x-6x^2$ $if x<=0$
$2x$ $if 0 $6x^2-2x$ $if x>1$

Ora vedi che la funzione è sempre derivabile. Devi solo capire se lo è anche nei punti dove si "attacca". Calcoli quindi il $lim_(x->0^+)f(x)$ e $lim_(x->0^-)f(x)$ e vedi se sono uguali. Fai lo stesso per $1^+$ e $1^-$

[alvinlee881]

"kekko89":Calcoli le derivate. Ovvero $f'(x):
$ 2x-6x^2$ $if x<=0$
$2x$ $if 0 $6x^2-2x$ $if x>1$

Ora vedi che la funzione è sempre derivabile. Devi solo capire se lo è anche nei punti dove si "attacca". Calcoli quindi il $lim_(x->0^+)f(x)$ e $lim_(x->0^-)f(x)$ e vedi se sono uguali. Fai lo stesso per $1^+$ e $1^-$

Si ma sarebbe meglio sottolineare che così si dimostra la continuità della derivata (da cui discende ovviamente la derivabilità della funzione), che è una condizione sufficiente ma non necessaria per la derivabilità. Ci sono funzioni che sono derivabili in un punto $x_0$ ma con derivata non continua, cioè per esempio che i limiti delle derivate, destri e sinistri, per $x$ che tende a $x_0$, nemmeno esistono.
Quindi se vedi che i limiti delle derivate relativi al punto x0 o sono diversi, o non esistono, o non sono finiti, non puoi concludere che la funzione non è derivabile. Lì serve la definizione.


Per approfondimenti:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 32151.html
A pagina 2 c'è un mio post con un controesempio riguardo quanto detto sopra.

[Knuckles1]

si infatti l'ho risolto calcolando i limiti dei rapporti incrementali perchè mi sembrava più corretto ma non sapevo il perchè un sesto senso
adesso so perchè era più corretto
cmq un'ultima cosa... quando si dice che una funzione è prolungabile per continuità che cosa si intende? tale discorso si può fare anche parlando di derivate e funzioni integrali? grazie ragazzi