Limite del quoziente...
siccome sul mio libro non è specificato stavo tentando di dimostrare questa proprietà dei limiti... data la definizione di limite di successioni arrivo a considerare che
$|(an)/(bn) - a/b| = |(an)/(bn) - a/(bn) + a/(bn) - a/b|<|(an) - a| |1/(bn)| + |1/(bn) - 1/b| |a|$
ora qui mi sono bloccato perchè sò che $|bn - b|< epsilon $ ma non sò se questa relazione vale anche per $|1/(bn)-1/b|$... ed anche non sò se |1/(bn)| la posso considerare come successione limitata...
$|(an)/(bn) - a/b| = |(an)/(bn) - a/(bn) + a/(bn) - a/b|<|(an) - a| |1/(bn)| + |1/(bn) - 1/b| |a|$
ora qui mi sono bloccato perchè sò che $|bn - b|< epsilon $ ma non sò se questa relazione vale anche per $|1/(bn)-1/b|$... ed anche non sò se |1/(bn)| la posso considerare come successione limitata...
Risposte
però siccome stò maggiorando potrei anche maggiorare l'ultimo termine con $|(an) - a| |bn| + |(bn) - b| |a| $ e ricondurmi al caso del limite del prodotto...
Secondo me, un modo furbo è dimostrare che
Se $b_n\to b\ne 0$ con $b_n\ne 0, \forall n\in\mathbb{N}$ allora $\frac{1}{ b_n }\to \frac{1}{b}$. Dopodichè puoi vedere la successione $a_n/(b_n)$ come prodotto di due successioni: $a_n * 1/(b_n)$. Prova e fammi sapere
Se $b_n\to b\ne 0$ con $b_n\ne 0, \forall n\in\mathbb{N}$ allora $\frac{1}{ b_n }\to \frac{1}{b}$. Dopodichè puoi vedere la successione $a_n/(b_n)$ come prodotto di due successioni: $a_n * 1/(b_n)$. Prova e fammi sapere
"Mathematico":
Secondo me, un modo furbo è dimostrare che
Se $b_n\to b\ne 0$ con $b_n\ne 0, \forall n\in\mathbb{N}$ allora $\frac{1}{ b_n }\to \frac{1}{b}$. Dopodichè puoi vedere la successione $a_n/(b_n)$ come prodotto di due successioni: $a_n * 1/(b_n)$. Prova e fammi sapere
vero, però non saprei come dimostrarlo
... perchè partendo dalla definizione di limite$AA epsilon <0 EE ni > o : AA n > ni |bn - b|
...
Nuoooooo $1/\epsilon$ è una quantità arbitrariamente grande...
Io farei così:
Per definizione di limite:
$\forall \epsilon>0 \exists n_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che $AA n>n_{\epsilon} |b_n- b|<\epsilon$.
Fissiamo $\epsilon<|b|/2$, a cui verrà associato $n_\epsilon$. Si ha che:
$|b|= |b-b_n+b_n|<= |b-b_n|+|b_n|<\epsilon+ |b_n|\implies |b|-\epsilon<|b_n|$, per ogni $n>n_\epsilon$. A questo punto poichè $\epsilon<|b|/2$ allora si ha che $-\epsilon> -|b|/2$ e di conseguenza:
$|b_n|>|b|-\epsilon>|b|/2$. Abbiamo dimostrato quindi $|b_n|>|b|/2$ da un certo indice in poi (definitivamente).
Passiamo ora al problema
$|1/b- 1/b_n| = |b_n-b|/|b b_n|<2\epsilon/|b|^2, AA n>n_\epsilon$
e questo conclude la dimostrazione. Un po' brutto il termine $2\epsilon/|b|^2$, ma comunque non farti fregare, esso è arbitrariamente piccolo.
Io farei così:
Per definizione di limite:
$\forall \epsilon>0 \exists n_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che $AA n>n_{\epsilon} |b_n- b|<\epsilon$.
Fissiamo $\epsilon<|b|/2$, a cui verrà associato $n_\epsilon$. Si ha che:
$|b|= |b-b_n+b_n|<= |b-b_n|+|b_n|<\epsilon+ |b_n|\implies |b|-\epsilon<|b_n|$, per ogni $n>n_\epsilon$. A questo punto poichè $\epsilon<|b|/2$ allora si ha che $-\epsilon> -|b|/2$ e di conseguenza:
$|b_n|>|b|-\epsilon>|b|/2$. Abbiamo dimostrato quindi $|b_n|>|b|/2$ da un certo indice in poi (definitivamente).
Passiamo ora al problema
$|1/b- 1/b_n| = |b_n-b|/|b b_n|<2\epsilon/|b|^2, AA n>n_\epsilon$
e questo conclude la dimostrazione. Un po' brutto il termine $2\epsilon/|b|^2$, ma comunque non farti fregare, esso è arbitrariamente piccolo.
"Mathematico":
Nuoooooo $1/\epsilon$ è una quantità arbitrariamente grande...
Io farei così:
Per definizione di limite:
$\forall \epsilon>0 \exists n_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che $AA n>n_{\epsilon} |b_n- b|<\epsilon$.
Fissiamo $\epsilon<|b|/2$, a cui verrà associato $n_\epsilon$. Si ha che:
$|b|= |b-b_n+b_n|<= |b-b_n|+|b_n|<\epsilon+ |b_n|\implies |b|-\epsilon<|b_n|$, per ogni $n>n_\epsilon$. A questo punto poichè $\epsilon<|b|/2$ allora si ha che $-\epsilon> -|b|/2$ e di conseguenza:
$|b_n|>|b|-\epsilon>|b|/2$. Abbiamo dimostrato quindi $|b_n|>|b|/2$ da un certo indice in poi (definitivamente).
Passiamo ora al problema
$|1/b- 1/b_n| = |b_n-b|/|b b_n|<2\epsilon/|b|^2, AA n>n_\epsilon$
e questo conclude la dimostrazione. Un po' brutto il termine $2\epsilon/|b|^2$, ma comunque non farti fregare, esso è arbitrariamente piccolo.
sei un genio!
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