Limite del limite
Un dubbio:
$lim(lim(fx))=limf(x)$???????
(entrambi i limiti per x che tende a + infinito)
Tale dubbio sorge in questo contesto:
$limz(f(i)-f(z))$ con $f(i)$ (avrei voluto scrive f di infinito) UGUALE proprio per definizione a $limf(z)$ per z che tende a infinito.
Tale limite abbiamo dimostrato che esiste ed è finito (facendo altre ipotesi su f e sugli insiemi)
Io mi chiedo
$limz(f(i)-f(z))$ con $f(i)=limzlim((f(i)-f(z)))=limz[limf(i)-limf(z)]=limz[lim(limf(z))-limf(z)]$
E fin qui dovremmo essere tutti daccordo. Tale limite è una forma indetermianta perchè il primo fattore tende a infinito e il secondo in parentesi TENDE a 0; quello che dico io se $lim(lim(fx))=limf(x)$ allora la quantità in parentesi È 0 mandando a 0 il limite in ogni caso.
Adesso siccome tale cosa è sbagliata vi chiedo gentilmente come mai non vale $lim(lim(fx))=limf(x)$
Io dico il limite è un numero (infatti spesso li chiamiamo l) o al massimo infinito ma comunque una cosa indipendente da z; quindi se io faccio il limite per z che tende a infinito di un numero che non dipende da z tale limtie è il numero stesso.
Cosa mi sfugge?? Grazie mille se mi aiuterete
$lim(lim(fx))=limf(x)$???????
(entrambi i limiti per x che tende a + infinito)
Tale dubbio sorge in questo contesto:
$limz(f(i)-f(z))$ con $f(i)$ (avrei voluto scrive f di infinito) UGUALE proprio per definizione a $limf(z)$ per z che tende a infinito.
Tale limite abbiamo dimostrato che esiste ed è finito (facendo altre ipotesi su f e sugli insiemi)
Io mi chiedo
$limz(f(i)-f(z))$ con $f(i)=limzlim((f(i)-f(z)))=limz[limf(i)-limf(z)]=limz[lim(limf(z))-limf(z)]$
E fin qui dovremmo essere tutti daccordo. Tale limite è una forma indetermianta perchè il primo fattore tende a infinito e il secondo in parentesi TENDE a 0; quello che dico io se $lim(lim(fx))=limf(x)$ allora la quantità in parentesi È 0 mandando a 0 il limite in ogni caso.
Adesso siccome tale cosa è sbagliata vi chiedo gentilmente come mai non vale $lim(lim(fx))=limf(x)$
Io dico il limite è un numero (infatti spesso li chiamiamo l) o al massimo infinito ma comunque una cosa indipendente da z; quindi se io faccio il limite per z che tende a infinito di un numero che non dipende da z tale limtie è il numero stesso.
Cosa mi sfugge?? Grazie mille se mi aiuterete
Risposte
Guarda, non potevi essere più chiaro... 
Ad ogni modo, direi che tutto dipende dal comportamento della funzione infinitesima $g(z):=L-f(z)$, ove $L:=\lim_(z\to oo) f(z) != oo$ è una costante (determinata a partire da $f$, ma pur sempre costante)*.
In particolare, se $g(z)$ è infinitesima d'ordine superiore rispetto a $1/z$, allora stai pur sicuro che il $lim_(zto oo) z*g(z)$ è nullo; analogamente, se $g(z)$ è infinitesima d'ordine minore rispetto a $1/z$, allora $\lim_(z\to oo) z*g(z)=oo$.
__________
* Nota che $g$ è infinitesima in $oo$ per la definizione di limite applicata ad $f$.
Ad ogni modo, direi che tutto dipende dal comportamento della funzione infinitesima $g(z):=L-f(z)$, ove $L:=\lim_(z\to oo) f(z) != oo$ è una costante (determinata a partire da $f$, ma pur sempre costante)*.
In particolare, se $g(z)$ è infinitesima d'ordine superiore rispetto a $1/z$, allora stai pur sicuro che il $lim_(zto oo) z*g(z)$ è nullo; analogamente, se $g(z)$ è infinitesima d'ordine minore rispetto a $1/z$, allora $\lim_(z\to oo) z*g(z)=oo$.
__________
* Nota che $g$ è infinitesima in $oo$ per la definizione di limite applicata ad $f$.
mi scuso se non mi sono espresso chiaramente. Nocciolo della domanda:
$lim(limf(z))$ è uguale oppure no a $limf(z)$ (sempre per z che tende a + infinito)?
Io direi di si, però se questo non può essere perchè mi contraddice un teorema che ho studiato; quindi chiedo gentilmente se potete spiegarmi perchè $lim(limf(z))$ è diverso da $limf(z)$
grazie sempre
$lim(limf(z))$ è uguale oppure no a $limf(z)$ (sempre per z che tende a + infinito)?
Io direi di si, però se questo non può essere perchè mi contraddice un teorema che ho studiato; quindi chiedo gentilmente se potete spiegarmi perchè $lim(limf(z))$ è diverso da $limf(z)$
grazie sempre
La scrittura $lim_(z\to oo) (lim_(z\to oo) f(z))$ per me semplicemente non ha senso.
Potresti riportare il testo del teorema che hai studiato (o almeno dirne il nome, se è dotato di nome...)?
Potresti riportare il testo del teorema che hai studiato (o almeno dirne il nome, se è dotato di nome...)?
si tratta di un teorema sui residui delle funzioni olomorfe complesse, adesso non ho sottomano il testo; domattina mi riguardo tutto con calma e riformulerò meglio i miei eventuali dubbi.
In ogni caso grazie mille: almeno adesso so che tutti i dubbi che mi sono fatto venire sono basati su qualcosa che non ha senso, ed è già un ottimo risultato.
Grazie
Buona serata
In ogni caso grazie mille: almeno adesso so che tutti i dubbi che mi sono fatto venire sono basati su qualcosa che non ha senso, ed è già un ottimo risultato.
Grazie
Buona serata
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