Limite: definizione topologica vs \( \varepsilon \)-\( \delta \)
Ho un dubbio che non riesco a risolvere.
Per semplicità ragioniamo in \( \mathbb{R} \) (dotato della metrica euclidea). Sia \( f : D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e si denoti con \( B_r(x_0) \) la palla centrata in \( x_0 \) di raggio \( r \), ossia l'insieme
\[ B_r(x_0) = \lbrace x \in \mathbb{R} : |x-x_0| < r \rbrace \]
Definisco intorno di \( x_0 \in \mathbb{R} \) un qualunque aperto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica) tale che esiste una palla centrata in \( x_0 \) al suo interno (nelle definizioni che seguono suppongo \( x_0 \) di accumulazione per \( D \)).
(1) Definizione topologica di limite
Si dice che \( f \) ha limite \( l \in \mathbb{R} \) se per ogni intorno \( U_l \) di \( l \) esiste un intorno \( V_{x_0} \) di \( x_0 \) tale che, per ogni \( x \in V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace \), si ha \( f(x) \in U_l \).
(2) Definizione \( \varepsilon \)-\( \delta \) di limite
Si dice che \( f \) ha limite \( l \in \mathbb{R} \) se per ogni \( \varepsilon > 0 \) esiste \( \delta > 0 \) tale che, per ogni \( x \in B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace \), si ha \( f(x) \in B_{\varepsilon}(l) \).
Io non riesco a capire se queste definizioni sono equivalenti o meno (cioè se posso scrivere (1) \( \Leftrightarrow \) (2)).
Qualcuno mi aiuta a far chiarezza su questa cosa? Perché alcune volte il limite di \( f \) viene definito secondo la (1), mentre altre volte secondo la (2)?
Per semplicità ragioniamo in \( \mathbb{R} \) (dotato della metrica euclidea). Sia \( f : D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e si denoti con \( B_r(x_0) \) la palla centrata in \( x_0 \) di raggio \( r \), ossia l'insieme
\[ B_r(x_0) = \lbrace x \in \mathbb{R} : |x-x_0| < r \rbrace \]
Definisco intorno di \( x_0 \in \mathbb{R} \) un qualunque aperto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica) tale che esiste una palla centrata in \( x_0 \) al suo interno (nelle definizioni che seguono suppongo \( x_0 \) di accumulazione per \( D \)).
(1) Definizione topologica di limite
Si dice che \( f \) ha limite \( l \in \mathbb{R} \) se per ogni intorno \( U_l \) di \( l \) esiste un intorno \( V_{x_0} \) di \( x_0 \) tale che, per ogni \( x \in V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace \), si ha \( f(x) \in U_l \).
(2) Definizione \( \varepsilon \)-\( \delta \) di limite
Si dice che \( f \) ha limite \( l \in \mathbb{R} \) se per ogni \( \varepsilon > 0 \) esiste \( \delta > 0 \) tale che, per ogni \( x \in B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace \), si ha \( f(x) \in B_{\varepsilon}(l) \).
Io non riesco a capire se queste definizioni sono equivalenti o meno (cioè se posso scrivere (1) \( \Leftrightarrow \) (2)).
Qualcuno mi aiuta a far chiarezza su questa cosa? Perché alcune volte il limite di \( f \) viene definito secondo la (1), mentre altre volte secondo la (2)?
Risposte
Non c'è alcuna differenza, è come hai detto tu.. una è la definizione topologica di limite che usa gli intorni, e l'altro usa i "quantificatori".
Se ti interessa, su wikipedia ci sono proprio i due casi che hai messo tu. Basta che cerchi su google " limite di una funzione".
Ciao
Se ti interessa, su wikipedia ci sono proprio i due casi che hai messo tu. Basta che cerchi su google " limite di una funzione".
Ciao
Beh, il fatto che siano equivalenti è tutto da dimostrare (è proprio l'oggetto della domanda).
Cominciamo dalla dimostrazione che (1) \( \Rightarrow \) (2): devo dimostrare quindi che se il limite è definito come nella (1) allora è vera l'affermazione (2).
Per ipotesi, comunque scelgo un intorno di \( l \) esiste un intorno di \( x_0 \) tale che per ogni \( x \) nell'intorno di \( x_0 \) si ha che l'immagine di \( x \) appartiene all'intorno scelto di \( l \).
Se io fisso una palla \( B_{\varepsilon}(l) \) (che è un intorno di \( l \) secondo la definizione che ho dato), non è affatto detto che esista un'altra palla \( B_{\delta}(x_0) \) tale che per ogni \( x \in B_{\delta}(x_0) \) risulta \( f(x) \in B_{\varepsilon}(x_0) \) perché l'immagine \( f(x) \) appartiene ad un intorno di \( l \) (che in generale non è una palla centrata in \( l \)) e quindi ad un insieme più grande della palla \( B_{\varepsilon}(x_0) \).
Mi spiego?
Cominciamo dalla dimostrazione che (1) \( \Rightarrow \) (2): devo dimostrare quindi che se il limite è definito come nella (1) allora è vera l'affermazione (2).
Per ipotesi, comunque scelgo un intorno di \( l \) esiste un intorno di \( x_0 \) tale che per ogni \( x \) nell'intorno di \( x_0 \) si ha che l'immagine di \( x \) appartiene all'intorno scelto di \( l \).
Se io fisso una palla \( B_{\varepsilon}(l) \) (che è un intorno di \( l \) secondo la definizione che ho dato), non è affatto detto che esista un'altra palla \( B_{\delta}(x_0) \) tale che per ogni \( x \in B_{\delta}(x_0) \) risulta \( f(x) \in B_{\varepsilon}(x_0) \) perché l'immagine \( f(x) \) appartiene ad un intorno di \( l \) (che in generale non è una palla centrata in \( l \)) e quindi ad un insieme più grande della palla \( B_{\varepsilon}(x_0) \).
Mi spiego?
Come dice Fede, in R non c'è differenza tra le due definizioni, si può usare l'una o l'altra. Il punto è che $R$ è uno spazio metrico, e uno spazio metrico è sempre uno spazio topologico, ogni metrica induce una topologia. Al contrario, esistono spazi topologici, cosiddetti 'non metrizzabili', la cui topologia non proviene da nessuna distanza, non esiste una distanza che induce la topologia data. In questo caso l'unica definizione possibile di convergenza è quella topologica con gli intorni, gli spazi topologici consentono quindi di dare una definizione più generale di convergenza, non solo negli spazi metrici.
Qualcuno mi aiuta a completare il ragionamento che ho fatto sopra?
="Riccardo Desimini" non è affatto detto che esista un'altra palla \( B_{\delta}(x_0) \) tale che per ogni \( x \in B_{\delta}(x_0) \) risulta \( f(x) \in B_{\varepsilon}(x_0) \) perché l'immagine \( f(x) \) appartiene ad un intorno di \( l \) (che in generale non è una palla centrata in \( l \)) e quindi ad un insieme più grande della palla \( B_{\varepsilon}(x_0) \).
Mi spiego?
Se ho capito quello che intendi dire, il punto è che un intorno contiene sempre una palla aperta, ci sarà una palla aperta dentro l'intorno di $x_0$, e una palla aperta dentro l'intorno di $l$ tali che etc. etc., insomma bisogna prendere delle palle aperte dentro gli intorni.
Ma se io faccio come dici, non c'è niente che mi assicura che nella palla centrata in \( x_0 \) (che è scelta in un intorno di \( x_0 \)) tutte le \( x \) abbiano immagine nella palla centrata in \( l \) di raggio \( \varepsilon \); l'ipotesi dice solo che le \( x \) di questa palla centrata in \( x_0 \) stanno in un intorno di \( l \) e non in una palla centrata in \( l \) (che è quello che, in teoria, ammesso che sia vera l'equivalenza che dite, dovrei dimostrare).
Nella definizione si dice:
che è una condizione che implica "per ogni palla centrata in \( l \)" e implica addirittura "per ogni sistema fondamentale di intorni di \( l \)". Quindi se prendi qualcosa di più grande per cui la condizione vale, essa continua a valere se prendi delle palle contenute in questo qualcosa, in particolare palle "piccole a piacere" (finché rimpicciolisci nel dominio o ingrandisci nel codominio tutte le relazioni insiemistiche continuano a valere). Formalizzando (1) \( \Rightarrow \) (2):
\( \forall U_l \) intorno di \(l \), $EE$ \(V_{x_0} \) intorno di \(x_0 \) tale che \( f(V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq U_l \) implica in particolare che \( \forall \varepsilon \) $EE$ \(V_{x_0} \) intorno di \(x_0 \) tale che \( f(V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \) con \(V_{x_0} \supseteq B_r(x_0) \) per un certo \(r \), basta prendere \( \delta = r \) ed ho che \( \forall \varepsilon \) $EE$ \( \delta \) tale che \( f(B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \), che è una formulazione equivalente alla (2).
Da qui il viceversa è immediato.
In generale, per rispondere alla domanda iniziale, le due formulazioni sono equivalenti in uno spazio topologico metrizzabile (perché si possono far intervenire le palle), la prima è una definizione migliore perché più generale, infatti è definita in qualsiasi spazio topologico, anche non metrizzabile o non di Hausdorff[nota]in entrambi i casi (di cui il primo è sottocaso del secondo dato che metrizzabile implica separato) però, il limite quando esiste non è in generale univocamente determinato.[/nota] quindi puoi applicarla in un numero maggiore di contesti.
"Riccardo Desimini":
per ogni intorno \( U_l \) di \( l \)
che è una condizione che implica "per ogni palla centrata in \( l \)" e implica addirittura "per ogni sistema fondamentale di intorni di \( l \)". Quindi se prendi qualcosa di più grande per cui la condizione vale, essa continua a valere se prendi delle palle contenute in questo qualcosa, in particolare palle "piccole a piacere" (finché rimpicciolisci nel dominio o ingrandisci nel codominio tutte le relazioni insiemistiche continuano a valere). Formalizzando (1) \( \Rightarrow \) (2):
\( \forall U_l \) intorno di \(l \), $EE$ \(V_{x_0} \) intorno di \(x_0 \) tale che \( f(V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq U_l \) implica in particolare che \( \forall \varepsilon \) $EE$ \(V_{x_0} \) intorno di \(x_0 \) tale che \( f(V_{x_0} \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \) con \(V_{x_0} \supseteq B_r(x_0) \) per un certo \(r \), basta prendere \( \delta = r \) ed ho che \( \forall \varepsilon \) $EE$ \( \delta \) tale che \( f(B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \), che è una formulazione equivalente alla (2).
Da qui il viceversa è immediato.
In generale, per rispondere alla domanda iniziale, le due formulazioni sono equivalenti in uno spazio topologico metrizzabile (perché si possono far intervenire le palle), la prima è una definizione migliore perché più generale, infatti è definita in qualsiasi spazio topologico, anche non metrizzabile o non di Hausdorff[nota]in entrambi i casi (di cui il primo è sottocaso del secondo dato che metrizzabile implica separato) però, il limite quando esiste non è in generale univocamente determinato.[/nota] quindi puoi applicarla in un numero maggiore di contesti.
Ho capito come si dimostra (1) \( \Rightarrow \) (2), ma non ho ancora ben capito come formalizzare il viceversa. Potresti darmi qualche dritta a riguardo?
Sappiamo che \(\forall \varepsilon \exists \delta \) tale che \( f(B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \) (riscrittura della (2) più utile ai nostri scopi). Per la tua definizione di intorno ciò mi implica la (1) a fortiori, capisci perché? (Stavolta conviene "minorare" oltre che nel codominio anche nel dominio...)
Le palle aperte sono intorni, quindi (2) è banalmente un caso particolare di (1).
"Epimenide93":
Sappiamo che \(\forall \varepsilon \exists \delta \) tale che \( f(B_{\delta}(x_0) \cap D \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \subseteq B_{\varepsilon}(l) \) (riscrittura della (2) più utile ai nostri scopi). Per la tua definizione di intorno ciò mi implica la (1) a fortiori, capisci perché? (Stavolta conviene "minorare" oltre che nel codominio anche nel dominio...)
C'entra qualcosa il fatto che ogni intorno di \( x_0 \) può essere contenuto da una palla di raggio opportuno?
E quindi dire che la proprietà è vera per ogni \( x \) nella palla è come dire che è vera per ogni \( x \) in un intorno in essa contenuto?
"Riccardo Desimini":
C'entra qualcosa il fatto che ogni intorno di \( x_0 \) può essere contenuto da una palla di raggio opportuno?
E quindi dire che la proprietà è vera per ogni \( x \) nella palla è come dire che è vera per ogni \( x \) in un intorno in essa contenuto?
Io direi più che altro che è importante che ogni intorno contenga una palla di raggio opportuno.
In ogni intorno di $l$ è contenuta una palla centrata in $l$ per definizione (chiamo il suo raggio $\epsilon$), per ogni palla centrata in $l$ ne esiste una centrata in $x_0$ la cui immagine tramite $f$ è tutta contenuta nella palla centrata in $l$, e quindi nell'intorno iniziale; la palla centrata in $x_0$ è l'intorno cercato (raggio $\delta$). Se lo scrivi in simboli hai già finito (come è stato osservato è un caso particolare di (1)). Se vuoi richiamare un intorno non sferico (ma è del tutto superfluo) questa palla centrata in $x_0$ contiene a sua volta infiniti intorni qualsiasi (sferici e non) di $x_0$, le cui immagini tramite $f$ sono necessariamente contenute nella palla di raggio $\epsilon$ di cui sopra e quindi nell'arbitrario intorno iniziale di $l$.
Perfetto.
Grazie infinite per l'aiuto, è stato molto prezioso.
Grazie infinite per l'aiuto, è stato molto prezioso.
Di niente 
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