Limite debole di una successione di funzionali

[ACA2]

Ciao a tutti! Ho molte perplessità riguardo ai limite debole di una successione. Per esempio prenderei questo:

Mostra che
\(\displaystyle \frac{n^3 x}{4 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{n^2 x^2}{4}} \rightarrow \delta_{0}' \)


Con $\delta_{0}$ intendo la classica delta di dirac.

[gugo82]

Posto:
\[
\begin{split}
f_n(x) &:= \frac{n^3 x}{4\sqrt{\pi}}\ \exp\left( - \left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\\
F_n &:= \text{ distribuzione individuata da } f_n
\end{split}
\]
mi pare tu voglia dimostrare che $F_n\to \delta^\prime$ nel senso delle distribuzioni, cioè che:
\[
\lim_n \langle F_n,\phi \rangle = \langle \delta^\prime ,\phi\rangle
\]
per ogni $\phi \in C_c^\infty (\RR)$.
Dato che, per definizione di derivata distribuzionale, hai:
\[
\langle \delta^\prime ,\phi\rangle = - \langle \delta ,\phi^\prime \rangle
\]
e che per definizione di prodotto di dualità con una distribuzione regolare hai:
\[
\langle F_n,\phi \rangle = \intop_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)\ \phi(x)\ \text{d} x\; ,
\]
si tratta di mostrare che:
\[
\lim_n \intop_{-\infty}^{+\infty} \frac{n^3 x}{4\sqrt{\pi}}\ \exp\left( - \left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\ \phi(x)\ \text{d} x = - \langle \delta ,\phi^\prime \rangle = -\phi^\prime (0)\; .
\]
Un'integrazione per parti (lecita perché $\phi$ ha supporto compatto) ti fa vedere che:
\[
\begin{split}
\intop_{-\infty}^{+\infty} \frac{n^3 x}{4\sqrt{\pi}}\ \exp\left( - \left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\ \phi(x)\ \text{d} x &= - \intop_{-\infty}^{+\infty} \frac{n}{2\sqrt{\pi}}\ (-n^2 x/2)\exp\left( - \left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\ \phi (x)\ \text{d} x \\
&= \intop_{-\infty}^{+\infty} \frac{n}{2\sqrt{\pi}}\ \exp\left( -\left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
e da qui (modulo un segno che non torna, forse per colpa del cenone...) finisci, perché la successione di distribuzioni regolari $G_n$ individuate dalle funzioni \(g_n(x) := \frac{n}{2\sqrt{\pi}}\ \exp\left( -\left(\frac{nx}{2}\right)^2\right)\) converge (nel senso delle distribuzioni) alla $\delta$.

[dissonance]

Buongiorno e buon anno!!! @Gugo: il segno non torna perché c'è un errore nella traccia, non per il cenone, stai tranquillo non hai esagerato troppo. (io invece sì, ma questo è un altro discorso )

Io la vedrei così: siccome
\[
\int_{\mathbb R} \frac{e^{-\left( \frac x 2 \right)^2}}{2\sqrt \pi}\, dx =1, \]
allora
\[\tag{1}
\frac{
n e^{
-\frac{n^2x^2}{4}
}
}
{2\sqrt \pi}
\to \delta, \]
e qua abbiamo usato il fatto che, se \(\int_{\mathbb R} f(x)\, dx =1\) e \(f\ge 0\), allora \(nf(nx)\to \delta\). Perciò, derivando a destra e a sinistra nella (1) (cosa corretta, perché la derivata è continua rispetto alla convergenza distribuzionale eccetera eccetera),
\[
-\frac{ n^3 x}{4\sqrt \pi} e^{
-\frac{n^2x^2}{4}
} \to \delta '.\]

[ACA2]

Grazie mille ad entrambi delle risposte!