Limite da sinistra e da destra
Salve a tutti,
ho il seguente punto \(\displaystyle (e^{-3}-1) \) in cui debbo studiare se quel punto è derivabile oppure no.
Ho calcolato la derivata che è uguale:
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
Faccio il limite sinistro di:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow (e^{-3}-1)^- } \frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
e
Faccio il limite destro di:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow (e^{-3}-1)^+} \frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
Ma non so come calcolare i seguenti limiti, sto avendo difficoltà, potreste spiegarmi come poter fare?
ho il seguente punto \(\displaystyle (e^{-3}-1) \) in cui debbo studiare se quel punto è derivabile oppure no.
Ho calcolato la derivata che è uguale:
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
Faccio il limite sinistro di:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow (e^{-3}-1)^- } \frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
e
Faccio il limite destro di:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow (e^{-3}-1)^+} \frac{1}{3\sqrt[3]{(-log(x+1)-3)^2}(-x-1)} \)
Ma non so come calcolare i seguenti limiti, sto avendo difficoltà, potreste spiegarmi come poter fare?
Risposte
Che problema c'è? Il denominatore è non-positivo in tutto un intorno di $e^{-3} -1$ e in tale punto di annulla.
Non riesco a risolvere i limiti.
Potresti spiegarmi come fare?
Non mi è chiara come risolvere i limiti per il valore da sx e da dx.
Potresti spiegarmi come fare?
Non mi è chiara come risolvere i limiti per il valore da sx e da dx.
Il limite per $x \to x_0$ "da sinistra" significa, roughly speaking, che devi limitarti ad esaminare l'andamento della funzione in un intorno sinistro del punto $x_0$. Analogamente per il limite "da destra".
Il denominatore $g(x)$ di quella derivata tende a zero per $x$ tendente a $e^{-3} - 1$. Inoltre $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno (completo) di $e^{-3} - 1$, $x \ne e^{-3} - 1$. Invocando noti teoremi sui limiti si ha che
\[ \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} \frac{1}{g(x)} = + \infty .\]
Osserva che se fosse stato $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno sx di $x_0$ e $g(x) < 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno dx di $x_0$, limite sx e dx sarebbero stati diversi ($+ \infty$ in un caso, $- \infty$ nell'altro).
Il denominatore $g(x)$ di quella derivata tende a zero per $x$ tendente a $e^{-3} - 1$. Inoltre $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno (completo) di $e^{-3} - 1$, $x \ne e^{-3} - 1$. Invocando noti teoremi sui limiti si ha che
\[ \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} \frac{1}{g(x)} = + \infty .\]
Osserva che se fosse stato $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno sx di $x_0$ e $g(x) < 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno dx di $x_0$, limite sx e dx sarebbero stati diversi ($+ \infty$ in un caso, $- \infty$ nell'altro).
Ti ringrazio di aver risposto, ma non mi è chiara, da qui in poi:
Potresti rispiegarmelo gentilmente.
"Seneca":
Inoltre $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno (completo) di $e^{-3} - 1$, $x \ne e^{-3} - 1$. Invocando noti teoremi sui limiti si ha che
\[ \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to (e^{-3} - 1)^{\pm}} \frac{1}{g(x)} = + \infty .\]
Osserva che se fosse stato $g(x) > 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno sx di $x_0$ e $g(x) < 0$ per ogni $x$ appartenente ad un intorno dx di $x_0$, limite sx e dx sarebbero stati diversi ($+ \infty$ in un caso, $- \infty$ nell'altro).
Potresti rispiegarmelo gentilmente.
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