Limite da sinistra con forma indetermianta
Salve, stavo provando a svolgere un limite per il calcolo di una funzione ma ritorno sempre al punto di partenza.
$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$
Ho provato operando con le frazioni
$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$ = $lim_(x->0^-)x^2*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/(1/x^2)*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/((e^(1/x)/x^2)$
A questo punto per $x->0^-$:
$e^(1/x)->e^-(1/0)->e^-oo->0$
ed
$x^2->0$
e mi ritrovo con una nuova forma indeterminata
$1/(0/0)=0/0$
Come posso tirarmi fuori? Il risultato dovrebbe essere +infinito..
Grazie.
$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$
Ho provato operando con le frazioni
$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$ = $lim_(x->0^-)x^2*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/(1/x^2)*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/((e^(1/x)/x^2)$
A questo punto per $x->0^-$:
$e^(1/x)->e^-(1/0)->e^-oo->0$
ed
$x^2->0$
e mi ritrovo con una nuova forma indeterminata
$1/(0/0)=0/0$
Come posso tirarmi fuori? Il risultato dovrebbe essere +infinito..
Grazie.
Risposte
Ciao Jaeger90,
Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi)...
Si ha:
$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = +\infty $
$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-1/x} = 0 $
"Jaeger90":
Il risultato dovrebbe essere 0
Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi)...
Si ha:
$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = +\infty $
$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-1/x} = 0 $
"pilloeffe":
Ciao Jaeger90,
[quote="Jaeger90"]Il risultato dovrebbe essere 0
Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi)...
Si ha:
$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = +\infty $
$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-1/x} = 0 $[/quote]
Errore mio, mi son confuso con quello da destra che è diretto.
Quindi come risolvo questo per dare + infinito?
"Jaeger90":
Quindi come risolvo questo per dare + infinito?
Beh, per esempio con la regola di de l'Hôpital:
$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1/x}}{1/x^2} \overset[H]{=} \lim_{x \to 0^-} \frac{(1/x^2)e^{-1/x}}{-2/x^3} = -1/2 \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1/x}}{1/x} \overset[H]{=} -1/2 \lim_{x \to 0^-} \frac{(1/x^2)e^{-1/x}}{-1/x^2} = $
$ = 1/2 \lim_{x \to 0^-} e^{-1/x} = +\infty $
Perfetto, grazie.
Io tentavo di portare sotto la e esendoci l'esponente negativo, invece che l'x^2 invertito. Così è effettivamente più fattibile. Alla fine credo che sia + infinito perchè è come se fosse il limite per x da destra di -x a livello numerico, nel senso che considero la x come un numero negativo e moltiplicata per l'1 negativo da + infinito.
Io tentavo di portare sotto la e esendoci l'esponente negativo, invece che l'x^2 invertito. Così è effettivamente più fattibile. Alla fine credo che sia + infinito perchè è come se fosse il limite per x da destra di -x a livello numerico, nel senso che considero la x come un numero negativo e moltiplicata per l'1 negativo da + infinito.
Si riferisce al commento di pilloeffe. 
"dissonance":
Si riferisce al commento di pilloeffe.
Ci sono altri metodi per risolverlo senza de l'Hopital?
Prova a porre $-\frac{1}{x}=y$: hai che
$$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y^2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y^2}$$
"Mephlip":
Prova a porre $-\frac{1}{x}=y$: hai che
$$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y^2}$$
Hm... penso che questo si possa risolvere solo direttamente con l'ordine di infinito.
Normalmente mi riferisco a questo formulario.
E n^x cresce più rapidamente che x^n. Però in questo caso non ho un n^x ma un numero m>n, m^x. Come dovrei comportarmi in questi casi?
Se non ricordo male, in un'altra domanda ti feci vedere come si risolve questo problema utilizzando il criterio del rapporto/radice per successioni e poi utilizzando il teorema ponte 
Comunque $2^x < e^x < 3^x$ se $x>0$, perciò...
Comunque $2^x < e^x < 3^x$ se $x>0$, perciò...
"Mephlip":
Se non ricordo male, in un'altra domanda ti feci vedere come si risolve questo problema utilizzando il criterio del rapporto/radice per successioni e poi utilizzando il teorema ponte
Comunque $2^x < e^x < 3^x$ per monotonia dell'esponenziale in base $a>1$, perciò...
Giusto, $n^x>x^m$ Per ogni n>=2, Per ogni m in $R$.
Visto che sto un po' tonto, in una gerarchia di infiniti, quando si scopre il numero che cresce più velocemente si fa finta che esso sia infinito e che l'altro sia un numero reale, mentre nella gerarchia di infinitesimi si fa finta che il numero che tende a 0 più velocemente sia 0 e che l'altro sia n, giusto?
Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore
"Mephlip":
Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore
Perfetto, thanks.
"Mephlip":
Se ti aiuta intuitivamente puoi vederlo così, però il modo sensato di capire queste cose è sempre utilizzare quel criterio!
Potresti anche sostituire valori positivi crescenti di $y$ nella funzione $f(y):=\frac{e^y}{y^2}$ e vedresti che, da un certo $y$ in poi, il numeratore cresce molto più del denominatore
Una cosa veloce.. so che, per il grafico della scala di infiniti che avevo linkato, $n!>3^x$, ma per capire meglio come questa cosa si generalizza vorrei chiedere se anche tipo $(n-999....999)! > 999....999^x$, cioè se questo vale non solo per $n!$ ma anche per $(n-m)!$ e per ogni base dell'esponenziale.
Usa il criterio del rapporto con le successioni $a_n=\frac{(n-m!)}{m^n}$ e $b_n=\frac{(n-m!)}{k^n}$, giungerai alla soluzione!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo