Limite da risolvere con il confronto tra infinitesimi!!!
limite per x che tende a zero di $(sen^3(x)+3x+tg3x)/(1-cos(3x)+ln(1+3x))$
bisogna risolverlo con il confronto tra infinitesimi....potete aiutarmi?
Grazie in anticipo
bisogna risolverlo con il confronto tra infinitesimi....potete aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
posta i tuoi tentativi...come suggerito dal regolamento!
Non è che per caso hai dimenticato qualcosa a numeratore?
"Zilpha":
posta i tuoi tentativi...come suggerito dal regolamento!
non ne ho fatti tanti, bisognerebbe escludere gli infinitesimi di ordine superiore, però mi da sempre 0/0.....al numeratore dovrei escludere il seno al cubo....poi non so come procedere....
"Seneca":
Non è che per caso hai dimenticato qualcosa a numeratore?
no no è così
"Manca":
[quote="Seneca"]Non è che per caso hai dimenticato qualcosa a numeratore?
no no è così
[/quote]Se è così non è neanche una forma indeterminata...
ma il numeratore non si annulla....
(Come ha detto un secondo prima di me Seneca)
(Come ha detto un secondo prima di me Seneca)
"Seneca":
[quote="Manca"][quote="Seneca"]Non è che per caso hai dimenticato qualcosa a numeratore?
no no è così
[/quote]Se è così non è neanche una forma indeterminata...[/quote]
Ah no scusami non era questo!! Lo riporto giusto
Si è giusto. Comincia a trascurare gli infinitesimi di ordine superiore (puoi farlo tranquillamente perché non hai differenze di infinitesimi dello stesso ordine).
"Seneca":
Si è giusto. Comincia a trascurare gli infinitesimi di ordine superiore (puoi farlo tranquillamente perché non hai differenze di infinitesimi dello stesso ordine).
Quali elimino? Sopra il seno al cubo, poi? 3x e la tangente non hanno stesso valore di infinitesimo??
Sì, e quelli non vanno toccati. A denominatore puoi trascurare qualcosa, invece?
"Seneca":
Sì, e quelli non vanno toccati. A denominatore puoi trascurare qualcosa, invece?
l'unico che ha valore di infinitesimo è logaritmo, se lo escludo però verrebbe 0 anche al denominatore.....
Sempre che non sia sbagliato puoi fare cosi:
$ lim_(x -> 0+) ((sinx)^3+3x+tan3x)/ (1-cos3x+ln(1+3x)) $
Sviluppo il Numeratore ed il denominatore con Taylor
$ ((x+O(x^3))^3 +3x+x+27/3x^3+O(x^5))/(1-(1-9/2x^2+81/24x^4+O(x^6))+3x-9/2x^2+27/3x^3-81/4x^4+O(x^5)) $
con semplificazioni
$ (4x+10x^3+O(x^5))/(3x+9x^3+135/8x^4+O(x^5)) $
$ (4x+O(x^3))/(3x+O(x^3)) $
$ (4x(1+O(x^2)))/(3x(1+O(x^2))) $
$ (4x(1+o(1)))/(3x(1+o(1))) $
$ lim_(x -> 0+)(4x(1+o(1)))/(3x(1+o(1))) $ $=4/3$
Penso che si possa risolvere cosi!!!
$ lim_(x -> 0+) ((sinx)^3+3x+tan3x)/ (1-cos3x+ln(1+3x)) $
Sviluppo il Numeratore ed il denominatore con Taylor
$ ((x+O(x^3))^3 +3x+x+27/3x^3+O(x^5))/(1-(1-9/2x^2+81/24x^4+O(x^6))+3x-9/2x^2+27/3x^3-81/4x^4+O(x^5)) $
con semplificazioni
$ (4x+10x^3+O(x^5))/(3x+9x^3+135/8x^4+O(x^5)) $
$ (4x+O(x^3))/(3x+O(x^3)) $
$ (4x(1+O(x^2)))/(3x(1+O(x^2))) $
$ (4x(1+o(1)))/(3x(1+o(1))) $
$ lim_(x -> 0+)(4x(1+o(1)))/(3x(1+o(1))) $ $=4/3$
Penso che si possa risolvere cosi!!!
Mi servirebbe risolto col confronto tra infinitesimi, comunque grazie lo stesso
Per quanto detto il limite che hai postato è uguale a:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{ x + \tan(3x)}{\log(3x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{ x + 3x}{3x} = \frac{4}{3}$[/tex]
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{ x + \tan(3x)}{\log(3x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{ x + 3x}{3x} = \frac{4}{3}$[/tex]
"Seneca":
Per quanto detto il limite che hai postato è uguale a:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{ x + \tan(3x)}{\log(3x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{ x + 3x}{3x} = \frac{4}{3}$[/tex]
Ho capito, questo per il principio di sostituzione degli infintesimi...grazie mille, sei stato di grande aiuto
Oppure, se vuoi usare i limiti notevoli di seno, coseno, tangente e logaritmo:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x+ 3x + \tan(3x)}{1-\cos 3x + \log(3x + 1)} =\lim_{x\to 0} \frac{3x\ (\frac{\sin^3 x}{3x}+1+\frac{\tan 3x}{3x})}{3x\ (\frac{1-\cos 3x}{3x}+\frac{\log (3x+1)}{3x})}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin^3 x}{3x} +1+\frac{\tan 3x}{3x}\right)\ \frac{1}{\frac{1-\cos 3x}{3x}+\frac{\log (3x+1)}{3x}}$[/tex]
[tex]$\stackrel{y=3x}{=} \lim_{y\to 0} \left( \frac{\sin^3 \tfrac{y}{3}}{y}+1+3\ \frac{\tan y}{y}\right) \ \frac{1}{\frac{1-\cos y}{y}+\frac{\log (1+y)}{y}}$[/tex]
[tex]$=(0+1+ 1)\cdot \frac{1}{0+1}=2$[/tex].
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x+ 3x + \tan(3x)}{1-\cos 3x + \log(3x + 1)} =\lim_{x\to 0} \frac{3x\ (\frac{\sin^3 x}{3x}+1+\frac{\tan 3x}{3x})}{3x\ (\frac{1-\cos 3x}{3x}+\frac{\log (3x+1)}{3x})}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin^3 x}{3x} +1+\frac{\tan 3x}{3x}\right)\ \frac{1}{\frac{1-\cos 3x}{3x}+\frac{\log (3x+1)}{3x}}$[/tex]
[tex]$\stackrel{y=3x}{=} \lim_{y\to 0} \left( \frac{\sin^3 \tfrac{y}{3}}{y}+1+3\ \frac{\tan y}{y}\right) \ \frac{1}{\frac{1-\cos y}{y}+\frac{\log (1+y)}{y}}$[/tex]
[tex]$=(0+1+ 1)\cdot \frac{1}{0+1}=2$[/tex].
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