Limite da risolvere

[brucosta]

Come risolvere questo limite: lim ( x>inf ) ( (x^4 + x^3 + x^2 + LN(x))^(3/4)) / 2x^2 ?E' una forma indeterminata che non riesco a risolvere. C'è una tecnica specifica? Grazie

[ciampax]

Il limite mi pare sia il seguente

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^4+x^3+x^2+\ln x)^{3/4}}{2x^2}[/math]

Dal momento che entrambe le funzioni sono infiniti per [mathx\to+\infty[/math] quello che conviene fare è un confronto dell'ordine ti tali infiniti. A denominatore, essendo presente un solo termine, non abbiamo problemi.

A numeratore, invece, dobbiamo tenere conto di quale addendo sia l'infinito di ordine maggiore, e che quindi va conservato. Dovresti sapere che, nell'ambito delle potenze, a esponente più alto corrisponde infinito maggiore, per cui sicuramente il termine

[math]x^4[/math]

"vince" sulle altre potenze. Per quanto riguarda il logaritmo, invece, dovrebbe anche esserti noto che

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\qquad \forall\ \alpha>0[/math]

Questo implica che qualsiasi potenza positiva della variabile è un infinito maggiore rispetto al logaritmo, e di conseguenza

[math]x^4[/math]

"vince" anche sul logaritmo. In definitiva il limite diventa

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^4)^{3/4}}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty[/math]

[brucosta]

Grazie per la pronta risposta. Ma ho sbagliato io a trascrivere il testo : il limite, in realtà, è questo:

lim ( x>inf ) ( (x^4 + x^3 + x^2 + LN(x))^(3/4) - x^3) / 2x^2

(avevo mancato il -x^3 al numeratore), e quindi il problema sta nel calcolare il termine di massimo grado al num. dopo il primo , eliso.
A proposito, come posso usare la scrittura in math ?

Aggiunto 1 ora 54 minuti più tardi:

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^4+x^3+x^2+\ln x)^{3/4}-x^3}{2x^2}[/math]

E' questo, ma l'ho ricavato dal tuo scritto, modificandolo. Dove trovo il compilatore?

Il risultato deve essere 3/8
Certo, posso ottenerlo iniziando col salvare solo i primi 2 termini di grado massimo nella parentesi al num. :

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^4+x^3)^{3/4}-x^3}{2x^2}[/math]

e poi con una doppia " razionalizzazione" del numeratore, moltiplicando e dividendo, prima per

[math](x^4+x^3)^{3/4}+x^3[/math]

, e poi per

[math](x^4+x^3)^{3/2}+x^6[/math]

,ripassando poi al limite, e così funziona.
Ma io cercavo una soluzione più rapida, calcolando , dall'elevazione ad esponente razionale, solo i primi due termini di grado massimo, essendo ovviamente il primo =

[math](x^4+x^3)^{3/4}=x^3 +[/math]

... e il secondo deve essere uguale a

[math]\frac{3}{4}x^2 [/math]

, ma non ne trovo il meccanismo di calcolo...

[ciampax]

Non c'è un compilatore: ci sono delle guide su come scrivere usando il latex che trovi qui: https://forum.skuola.net/annunci/guide-utili-71477.html

Veniamo ora all'esercizio. Possiamo scrivere il limite originale così:

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^4)^{3/4}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{\ln x}{x^4}\right)^{3/4}-x^3}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3/4}-1\right]}{2x^2}[/math]

Pervengo alla seconda espressione raccogliendo

[math]x^3[/math]

e osservando che nella parentesi tonda l'infinitesimo di ordine maggiore è

[math]1/x[/math]

(a differenza degli infiniti, qui devi prendere la potenza più bassa). A questo punto ricordo il limite notevole seguente:

[math]\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha[/math]

Con la sostituzione

[math]t=1/x[/math]

si ha

[math]t\to 0^+[/math]

e

[math]\lim_{t\to 0^+}\frac{(1+t)^{3/4}-1}{2t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}[/math]