Limite da risolvere

[marilena5]

lim per x che tende a zero+ di (π/2 + tgx - arctg(1/x) )^(1/lnx)

[pilloeffe]

Ciao madda5,

Benvenuta sul forum!

Il limite proposto pare il seguente:

$lim_{x \to 0^+} (\pi/2 + tan x - arctan(1/x))^{1/ln x} $

Innanzitutto osserverei che per $x > 0 $ vale la ben nota relazione $ arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 \implies pi/2 - arctan(1/x) = arctan(x) $, poi proseguirei come segue:

$lim_{x \to 0^+} (\pi/2 + tan x - arctan(1/x))^{1/ln x} = lim_{x \to 0^+} (tan x + arctan x)^{1/ln x} = lim_{x \to 0^+} e^{frac{ln(tan x + arctan x)}{ln x}} $

A questo punto mi concentrerei sull'esponente e applicherei la regola di de L'Hopital:

$lim_{x \to 0^+} frac{ln(tan x + arctan x)}{ln x} \overset{H}{=} lim_{x \to 0^+} frac{(1 + tan^2 x + frac{1}{1 + x^2})/(tan x + arctan x)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to 0^+} (1 + tan^2 x + frac{1}{1 + x^2}) \cdot frac{x}{tan x + arctan x} = $
$ = lim_{x \to 0^+} (1 + tan^2 x + frac{1}{1 + x^2}) \cdot frac{1}{tan x/x + arctan x/x} = $
$ = (1 + 0 + 1) \cdot frac{1}{1 + 1} = 1 $

In definitiva si ha:

$ lim_{x \to 0^+} (\pi/2 + tan x - arctan(1/x))^{1/ln x} = lim_{x \to 0^+} (tan x + arctan x)^{1/ln x} = lim_{x \to 0^+} e^{frac{ln(tan x + arctan x)}{ln x}} = e $

[marilena5]

Grazie mille!!!