Limite da risolvere

[mogra17]

salve, non riesco a calcolare correttamente il limite di uno studio di funzione, vi scrivo il limite e vi spiego come ho cercato di risolverlo,il limite ha come risultato -3e a me esce una forma di indeterminazione infinito - infinito. Il limite è il seguente:
lim (x to +inf)((1-x)e^((x+1)/(x-3))+ex)
spero di essere stato chiaro e che abbia scritto correttamente il limite. Io effettuato numerose prova tra cui, mettere a fattor comune prima la x e poi la e, risolvere i limiti singolarmente, ma non sono riuscito a venirne a capo, spero che possiate aiutarmi

[seb1]

Si può in effetti raccogliere inizialmente la costante \(e\):\[e\lim_{x\to\infty}\left[e^\frac{4}{x-3}+4\frac{x+3-3}{4}\left(1-e^\frac{4}{x-3}\right)\right]=e\lim_{x\to\infty}\left[3-2e^\frac{4}{x-3}-4\frac{e^\frac{4}{x-3}-1}{\frac{4}{x-3}}\right]=-3e\]

[mogra17]

scusami non riesco a capire come mai al numeratore ci sia il 4 e non x+1

[seb1]

Si può in effetti raccogliere inizialmente la costante \(e\)

[mogra17]

non ho capito i passaggi algebrici che bisogna fare per arrivare alla tua soluzione

[seb1]

Vediamo un attimo. Per prima cosa notiamo che \(e^\frac{x+1}{x-3}=e\cdot e^\frac{4}{x-3}\) grazie alle proprietà delle potenze. Tenutone conto, riordiniamo a questa maniera:\[\lim_{x\to\infty}\left((1-x)e^\frac{x+1}{x-3}+ex\right)=e\lim_{x\to\infty}\left((1-x)e^\frac{4}{x-3}+x\right)=e\lim_{x\to\infty}\left[e^\frac{4}{x-3}-x\left(e^\frac{4}{x-3}-1\right)\right]\]Ora, ricordando che:\[\lim_{f(x)\to0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\]cerchiamo di ricondurre il secondo addendo a tale struttura; abbiamo:\[x\left(e^\frac{4}{x-3}-1\right)=4\frac{x+3-3}{4}\left(e^\frac{4}{x-3}-1\right)=4\frac{x-3}{4}\left(e^\frac{4}{x-3}-1\right)+3\left(e^\frac{4}{x-3}-1\right)\]da cui otteniamo complessivamente:\[\lim_{x\to\infty}\left((1-x)e^\frac{x+1}{x-3}+ex\right)=e\lim_{x\to\infty}\left(3-2e^\frac{4}{x-3}-4\frac{e^\frac{4}{x-3}-1}{\frac{4}{x-3}}\right)=-3e\]