Limite da calcolare

[Gp741]

Salve a tutti ! Qualcuno sà dirmi come calcolare il seguente limite ? Grazie in anticipo per le risposte
$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n=e^(-1/2)$

[Cantaro86]

mmm...sicuro che non venga 1??

[Gp741]

No purtroppo, il limite non vale 1. Il prof di Analisi I per poco non mi bocciava per avergli detto che il limite risultasse 1. Non puoi considerare n fissato e poi variabile a tuo piacimento.

[franced]

"Gp741":
$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n$

E' un bel tranello!!

[elgiovo]

"franced":[quote="Gp741"]
$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n$

Allora, vediamo:

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n = lim_{n->+oo} ((1+1/n)^(n))^n*1/e^n$

Visto che

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n) = e$

si trova che il limite è 1.[/quote]

Anche franced sarebbe stato.. quasi bocciato a quanto pare.

[Gp741]

"franced":[quote="Gp741"]
$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n$

Allora, vediamo:

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n = lim_{n->+oo} ((1+1/n)^(n))^n*1/e^n$

Visto che

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n) = e$

si trova che il limite è 1.[/quote]
No!!!!! Se ragioni così supponi n costante e alcune volte variabile. Se $n->+oo$ tende a piu infinito in ogni parte del limite dove compare.....

[Paolo902]

Eccomi, anche io un altro ipotetico quasi-bocciato... Aiuto... Perchè non capisco?

[Kroldar]

"franced":

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n = lim_{n->+oo} ((1+1/n)^(n))^n*1/e^n$

Visto che

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n) = e$

si trova che il limite è 1.

Credo che l'errore stia nel fatto che, se si considera

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n) = e$

si ottiene

$lim_{n->+oo} (1+1/n)^(n^2)*1/e^n = lim_{n->+oo} ((1+1/n)^(n))^n*1/e^n = lim_{n->+oo} (e/e)^n$

e $1^oo$ non fa $1$ ma è una forma indeterminata.

[gugo82]

Il limite è nella forma indeterminata $1^oo$ (infatti $(1+1/n)^(n^2)*1/e^n=[1/e*(1+1/n)^n]^n$, con $1/e*(1+1/n)^n to 1$ ed $n to +oo$); per risolverlo basta passare ai logaritmi.

Abbiamo $log[(1+1/n)^(n^2)*1/e^n]=n^2log(1+1/n)-n=(log(1+1/n)-1/n)/(1/n^2) to -1/2$ e perciò $(1+1/n)^(n^2)*1/e^n to e^(-1/2)$.

Ho tenuto presente che quando $x to 0$ si ha $(log(1+x)-x)/(x^2)=-1/2$ (basta sviluppare in serie di McLaurin il numeratore).

[franced]

Bel limite.
Con inganno incorporato...

[Paolo902]

"franced":Bel limite.

Già, non male.

[Cantaro86]

e si... a prima vista ci siamo cascati quasi tutti

[franced]

"Cantaro86":e si... a prima vista ci siamo cascati quasi tutti

Succede.
La fretta è una cattiva consigliera!!