Limite corretto "per fortuna"?
Vogliamo calcolare
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(e^x+x)}}{\ln{(1+3x})} \]
Ho fatto diversi ragionamenti: li propongo nel seguito e commento la loro correttezza.
(1) Non si può utilizzare il fatto che \( e^x + x \sim 1 + x \) per dire che \( \ln (e^x+x) \sim \ln (1+x) \): così facendo, viene \[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(1+x)}}{\ln{(1+3x})} = \frac{1}{3} \]
che è sbagliato.
(2) Poiché \( 1 + 3x \rightarrow 1 \), non posso dire che
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \log_{1+3x} (e^x+x) = \log_{\lim_{x \rightarrow 0}\ (1+3x)}\ \lim_{x \rightarrow 0}\ (e^x + x) \]
(3) Osservo che
\[ \ln (e^x + x) = \ln \left ( x \left ( \frac{e^x}{x} + 1 \right ) \right ) = \ln x + \ln \left ( \frac{e^x}{x} + 1 \right ) \]
così facendo, non posso concludere nulla a priori, dato che il limite di \( \ln x \) non esiste per \( x \rightarrow 0 \) (mentre esiste se \( x \rightarrow 0^+ \)). Inoltre, non esiste il limite di \( \frac{e^x}{x} \). Decisamente una strada da scartare.
(4) Osservo che
\[ \ln (e^x + x) = \ln \left ( e^x \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \right ) = x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \]
da cui
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(e^x+x)}}{\ln{(1+3x})} = \lim_{x \rightarrow 0}\ \left ( \frac{x}{\ln{(1+3x})} + \frac{\ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{\ln{(1+3x})} \right ) \]
Poiché \( \ln (1+3x) \sim 3x \) e \( \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim \frac{x}{e^x} \), concludo (correttamente) che il limite è \( \frac{2}{3} \).
A questo punto viene il mio dubbio: come mai, nonostante io utilizzi gli sviluppi asintotici per una somma, mi viene il risultato esatto?
In generale, non è vero che se per \( x \rightarrow x_0 \quad f_1\, (x) \sim f_2\, (x) \) e \( g_1\, (x) \sim g_2\, (x) \), allora \( f_1\, (x) + g_1\, (x) \sim f_2\, (x) + g_2\, (x) \). Lo si vede subito ponendo \( x_0 = 0 \), \( f_1\, (x) = \frac{\tan x}{x^3} \) e \( g_1\, (x) = -\frac{\sin x}{x^3} \).
È il caso di dire che ho avuto fortuna? Se sì, come si poteva risolvere in maniera esatta?
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(e^x+x)}}{\ln{(1+3x})} \]
Ho fatto diversi ragionamenti: li propongo nel seguito e commento la loro correttezza.
(1) Non si può utilizzare il fatto che \( e^x + x \sim 1 + x \) per dire che \( \ln (e^x+x) \sim \ln (1+x) \): così facendo, viene \[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(1+x)}}{\ln{(1+3x})} = \frac{1}{3} \]
che è sbagliato.
(2) Poiché \( 1 + 3x \rightarrow 1 \), non posso dire che
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \log_{1+3x} (e^x+x) = \log_{\lim_{x \rightarrow 0}\ (1+3x)}\ \lim_{x \rightarrow 0}\ (e^x + x) \]
(3) Osservo che
\[ \ln (e^x + x) = \ln \left ( x \left ( \frac{e^x}{x} + 1 \right ) \right ) = \ln x + \ln \left ( \frac{e^x}{x} + 1 \right ) \]
così facendo, non posso concludere nulla a priori, dato che il limite di \( \ln x \) non esiste per \( x \rightarrow 0 \) (mentre esiste se \( x \rightarrow 0^+ \)). Inoltre, non esiste il limite di \( \frac{e^x}{x} \). Decisamente una strada da scartare.
(4) Osservo che
\[ \ln (e^x + x) = \ln \left ( e^x \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \right ) = x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \]
da cui
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(e^x+x)}}{\ln{(1+3x})} = \lim_{x \rightarrow 0}\ \left ( \frac{x}{\ln{(1+3x})} + \frac{\ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{\ln{(1+3x})} \right ) \]
Poiché \( \ln (1+3x) \sim 3x \) e \( \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim \frac{x}{e^x} \), concludo (correttamente) che il limite è \( \frac{2}{3} \).
A questo punto viene il mio dubbio: come mai, nonostante io utilizzi gli sviluppi asintotici per una somma, mi viene il risultato esatto?
In generale, non è vero che se per \( x \rightarrow x_0 \quad f_1\, (x) \sim f_2\, (x) \) e \( g_1\, (x) \sim g_2\, (x) \), allora \( f_1\, (x) + g_1\, (x) \sim f_2\, (x) + g_2\, (x) \). Lo si vede subito ponendo \( x_0 = 0 \), \( f_1\, (x) = \frac{\tan x}{x^3} \) e \( g_1\, (x) = -\frac{\sin x}{x^3} \).
È il caso di dire che ho avuto fortuna? Se sì, come si poteva risolvere in maniera esatta?
Risposte
"Riccardo Desimini":
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{\ln{(e^x+x)}}{\ln{(1+3x})} = \lim_{x \rightarrow 0}\ \left ( \frac{x}{\ln{(1+3x})} + \frac{\ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{\ln{(1+3x})} \right ) \]
Poiché \( \ln (1+3x) \sim 3x \) e \( \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim \frac{x}{e^x} \), concludo (correttamente) che il limite è \( \frac{2}{3} \).
Hai usato gli sviluppi asintotici separatamente su ciascun addendo della somma. Questo (calcolare separatamente il limite di ciascun addendo) è lecito purché la somma dei limiti non risulti una forma indeterminata, come nel caso:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) - x }{ x^3 } = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) }{x^3 } - \lim_{x \to 0} \frac{1 }{ x^2 } \]
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{ 1 }{x^2 } - \lim_{x \to 0} \frac{1 }{ x^2 } = \infty - \infty \;\; \]
In questo caso non puoi usare il teorema del limite di una somma; in sostanza devi fare molta attenzione ad usare correttamente l'algebra dei limiti - non serve andare per tentativi.
"Seneca":
Hai usato gli sviluppi asintotici separatamente su ciascun addendo della somma. Questo è lecito.
Consideriamo
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \left ( \frac{\tan x}{x^3} - \frac{\sin x}{x^3} \right ) \]
Abbiamo \( \frac{\tan x}{x^3} \sim \frac{1}{x^2} \) e \( -\frac{\sin x}{x^3} \sim -\frac{1}{x^2} \). Per il criterio appena detto concludo (erroneamente) che il limite è \( 0 \).
Il risultato corretto è \( \frac{1}{2} \). C'è qualcosa che non va.
Ho aggiunto qualcosa al messaggio precedente.
Usando D'LH [tex]\lim_{x\to 0}\cfrac{ln(e^x+x)}{ln(1+3x)}=\lim_{x\to 0}\cfrac{(e^x+1)(1+3x)}{(e^x+x)\cdot 3}=\cfrac{2}{3}[/tex]
"Seneca":
Hai usato gli sviluppi asintotici separatamente su ciascun addendo della somma. Questo (calcolare separatamente il limite di ciascun addendo) è lecito purché la somma dei limiti non risulti una forma indeterminata, come nel caso:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) - x }{ x^3 } = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) }{x^3 } - \lim_{x \to 0} \frac{1 }{ x^2 } \]
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{ 1 }{x^2 } - \lim_{x \to 0} \frac{1 }{ x^2 } = \infty - \infty \;\; \]
In questo caso non puoi usare il teorema del limite di una somma; in sostanza devi fare molta attenzione ad usare correttamente l'algebra dei limiti - non serve andare per tentativi.
Ho capito.
Ma anche questo è un caso "fortunato", perché io so a priori i limiti degli addendi e quindi so capire se il teorema del limite della somma è applicabile.
In generale non si sa, ed è per questo che la stima asintotica non si applica alle somme.
Cosa ne pensi?
"dennysmathprof":
Usando D'LH [tex]\lim_{x\to 0}\cfrac{ln(e^x+x)}{ln(1+3x)}=\lim_{x\to 0}\cfrac{(e^x+1)(1+3x)}{(e^x+x)\cdot 3}=\cfrac{2}{3}[/tex]
Questa potrebbe essere una strategia alternativa.
Forse diventa tutto più semplice usando correttamente gli sviluppi asintotici; facendo riferimento al punto 1) si ha
\[
e^x + x = 1+x+o(x) + x = 1 + 2x + o(x), \qquad x\to 0.
\]
\[
e^x + x = 1+x+o(x) + x = 1 + 2x + o(x), \qquad x\to 0.
\]
Vediamola così...
Teorema: Se il rapporto di due infinitesimi $f/g$ ha limite, questo resta immutato quando ad esso si sostituiscano due infinitesimi $bar(f) , bar(g)$ equivalenti rispettivamente ad $f , g$.
Questo è la regola indispensabile che devi tenere a mente.
Nell'esempio di prima, anziché $( x + log(1 + x/(e^x)) )/(log(1 + 3x))$ puoi considerare $( x + x/(e^x))/(3x) \to 2/3$. Da cui si deduce che $( x + log(1 + x/(e^x)) )/(log(1 + 3x)) \to 2/3$.
Il problema nell'esempio che ti ho mostrato precedentemente è il seguente: \( \sin(x) - x \) va considerato non come somma (differenza) di infinitesimi del prim'ordine ( $x , sin(x)$ ) bensì come tutto un blocco, un infinitesimo che ha ordine superiore al primo. Per applicare il teorema devi rimpiazzare l'infinitesimo $sin(x) - x$ con uno equivalente, non usare separatamente sostituzioni asintotiche su ciascun addendo (anch'esso infinitesimo) del "blocco". Proviamo ad analizzare il problema:
$sin(x)/(log(1 + x)) -> 1$ , quindi $log( 1 + x ) \sim \sin(x)$
Eppure col cavolo che $lim_(x -> 0 ) (sin(x) - x)/x^3 = lim_(x -> 0 ) (log(1 + x) - x)/x^3$
dal momento che $sin(x) - x$ è un infinitesimo del terz'ordine mentre $log(1 + x) - x$ è un infinitesimo del second'ordine (controlla con Taylor) e quindi sono ben lungi dall'essere equivalenti.
Ora devi aver tutto chiaro.
Teorema: Se il rapporto di due infinitesimi $f/g$ ha limite, questo resta immutato quando ad esso si sostituiscano due infinitesimi $bar(f) , bar(g)$ equivalenti rispettivamente ad $f , g$.
Questo è la regola indispensabile che devi tenere a mente.
Nell'esempio di prima, anziché $( x + log(1 + x/(e^x)) )/(log(1 + 3x))$ puoi considerare $( x + x/(e^x))/(3x) \to 2/3$. Da cui si deduce che $( x + log(1 + x/(e^x)) )/(log(1 + 3x)) \to 2/3$.
Il problema nell'esempio che ti ho mostrato precedentemente è il seguente: \( \sin(x) - x \) va considerato non come somma (differenza) di infinitesimi del prim'ordine ( $x , sin(x)$ ) bensì come tutto un blocco, un infinitesimo che ha ordine superiore al primo. Per applicare il teorema devi rimpiazzare l'infinitesimo $sin(x) - x$ con uno equivalente, non usare separatamente sostituzioni asintotiche su ciascun addendo (anch'esso infinitesimo) del "blocco". Proviamo ad analizzare il problema:
$sin(x)/(log(1 + x)) -> 1$ , quindi $log( 1 + x ) \sim \sin(x)$
Eppure col cavolo che $lim_(x -> 0 ) (sin(x) - x)/x^3 = lim_(x -> 0 ) (log(1 + x) - x)/x^3$
dal momento che $sin(x) - x$ è un infinitesimo del terz'ordine mentre $log(1 + x) - x$ è un infinitesimo del second'ordine (controlla con Taylor) e quindi sono ben lungi dall'essere equivalenti.
Ora devi aver tutto chiaro.
Usando Taylor:
\[
\log (e^x +x) = \log (1+\underbrace{e^x-1 +x}_{\text{tende a } 0})\sim e^x-1+x\sim 2x
\]
ed ovviamente \(\log (1+3x)\sim 3x\), dunque:
\[
\frac{\log (e^x+x)}{\log(1+3x)}\sim \frac{2}{3}\; .
\]
\[
\log (e^x +x) = \log (1+\underbrace{e^x-1 +x}_{\text{tende a } 0})\sim e^x-1+x\sim 2x
\]
ed ovviamente \(\log (1+3x)\sim 3x\), dunque:
\[
\frac{\log (e^x+x)}{\log(1+3x)}\sim \frac{2}{3}\; .
\]
Ho cancellato il messaggio precedente in sostituzione a quello presente, che servirà da riepilogo per tutta la discussione fatta fino ad adesso.
Ripartiamo da qui:
Seneca ha suggerito:
Ebbene, per fare questa affermazione è necessario far vedere preliminarmente che
\[ x + \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x + \frac{x}{e^x} \]
cosa che non farò, perché seguirò una strada differente (in realtà si dimostra utilizzando il metodo descritto nel seguito del messaggio).
Il motivo è che essendo \( \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim \frac{x}{e^x} \), sarei allora tentato di dire che
\[ x + \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x + \frac{x}{e^x} \]
ma questo non lo posso fare a priori perché \( \frac{x}{e^x} \) non è la parte principale di \( \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \), di conseguenza non è sufficiente il fatto che sia \( x + \frac{x}{e^x} \ne 0 \) per concludere che valga l'equivalenza per la somma.
Abbiamo poi la strada di gugo, che è l'unica che mi porta facilmente alla soluzione: infatti la seconda equivalenza asintotica
\[ \ln\, (e^x + x) = \ln\, (1 + e^x - 1 + x) \sim e^x - 1 + x \sim 2x \]
è legittima perché in questo caso sto sommando le parti principali delle due funzioni, conseguentemente il fatto che la somma sia non nulla è condizione sufficiente affinché sia legittima l'equivalenza per la somma.
Ripartiamo da qui:
"Riccardo Desimini":
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\, \frac{\ln (e^x+x)}{\ln (1+3x)} = \lim_{x \rightarrow 0}\ \frac{x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{\ln (1+3x)} \]
Seneca ha suggerito:
"Seneca":
Nell'esempio di prima, anziché $( x + ln(1 + x/(e^x)) )/(ln(1 + 3x))$ puoi considerare $( x + x/(e^x))/(3x) \to 2/3$. Da cui si deduce che $( x + ln(1 + x/(e^x)) )/(ln(1 + 3x)) \to 2/3$.
Ebbene, per fare questa affermazione è necessario far vedere preliminarmente che
\[ x + \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x + \frac{x}{e^x} \]
cosa che non farò, perché seguirò una strada differente (in realtà si dimostra utilizzando il metodo descritto nel seguito del messaggio).
Il motivo è che essendo \( \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim \frac{x}{e^x} \), sarei allora tentato di dire che
\[ x + \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x + \frac{x}{e^x} \]
ma questo non lo posso fare a priori perché \( \frac{x}{e^x} \) non è la parte principale di \( \ln \left (1 + \frac{x}{e^x} \right ) \), di conseguenza non è sufficiente il fatto che sia \( x + \frac{x}{e^x} \ne 0 \) per concludere che valga l'equivalenza per la somma.
Abbiamo poi la strada di gugo, che è l'unica che mi porta facilmente alla soluzione: infatti la seconda equivalenza asintotica
\[ \ln\, (e^x + x) = \ln\, (1 + e^x - 1 + x) \sim e^x - 1 + x \sim 2x \]
è legittima perché in questo caso sto sommando le parti principali delle due funzioni, conseguentemente il fatto che la somma sia non nulla è condizione sufficiente affinché sia legittima l'equivalenza per la somma.
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