Limite, con variazione parametrica
Buongiorno!
Vi chiedo consiglio per la risoluzione di un limite (\(\displaystyle n \rightarrow \infty \)) contenente: un esponenziale, un logaritmo e un parametro \(\displaystyle \alpha ^n \)
Problemi:
1)la forma indeterminata \(\displaystyle +\infty - \infty \) come primo risultato
2)la forma indeterminata \(\displaystyle 1^{+\infty} \) nel caso in cui \(\displaystyle \alpha=1 \)
La 2) la risolvo riconducendomi al limite notevole:
\(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \pm \infty} \left( 1+ 1/n \right)^n = e \)
(moltiplicando e dividendo \(\displaystyle 1^n \) per \( \left( 1+ 1/n \right)^n \) )
e questa è a posto.
Tuttavia, resta sempre la 1)
Come posso riscrivere
\(\displaystyle exp (1/7 \log n) (6\log n) - (6\log n) \) che mi dà la forma indeterminata \(\displaystyle +\infty - \infty \) ?
Vi chiedo consiglio per la risoluzione di un limite (\(\displaystyle n \rightarrow \infty \)) contenente: un esponenziale, un logaritmo e un parametro \(\displaystyle \alpha ^n \)
Problemi:
1)la forma indeterminata \(\displaystyle +\infty - \infty \) come primo risultato
2)la forma indeterminata \(\displaystyle 1^{+\infty} \) nel caso in cui \(\displaystyle \alpha=1 \)
La 2) la risolvo riconducendomi al limite notevole:
\(\displaystyle \lim _{n \rightarrow \pm \infty} \left( 1+ 1/n \right)^n = e \)
(moltiplicando e dividendo \(\displaystyle 1^n \) per \( \left( 1+ 1/n \right)^n \) )
e questa è a posto.
Tuttavia, resta sempre la 1)
Come posso riscrivere
\(\displaystyle exp (1/7 \log n) (6\log n) - (6\log n) \) che mi dà la forma indeterminata \(\displaystyle +\infty - \infty \) ?
Risposte
l'esercizio qual è?
Valutare il lim, al variare del parametro
\(\displaystyle \lim_{n} \ \left[ exp(1/7\log n) (6\log n) + \alpha ^n exp(1/7\log n) - \alpha ^n - 6\log n \right] \)
\(\displaystyle \lim_{n} \ \left[ exp(1/7\log n) (6\log n) + \alpha ^n exp(1/7\log n) - \alpha ^n - 6\log n \right] \)
"*Ely":
Valutare il lim, al variare del parametro
\(\displaystyle \lim_{n} \ \left[ exp(1/7\log n) (6\log n) + \alpha ^n exp(1/7\log n) - \alpha ^n - 6\log n \right] \)
be io riscriverie il limite cosi:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} e^{1/7\ln n}\cdot6\ln n+\alpha ^n e^{1/7\ln n}&-\alpha ^n-6\ln n=\lim_{n\to+\infty} n^{1/7}\cdot6\ln n+\alpha ^n n^{1/7}-\alpha ^n-6\ln n\\
&= \lim_{n\to+\infty} \alpha ^n \left(n^{1/7}-1\right)+6\ln n\left(n^{1/7}-1\right)\\
&= \lim_{n\to+\infty} \left(n^{1/7}-1\right)\left(\alpha ^n+6\ln n\right)\\
&\sim \lim_{n\to+\infty} n^{1/7} \left(\alpha ^n+6\ln n\right)
\end{align*}
a questo basta la discussione del parametro ...
non sono d'accordo,
\(\displaystyle e^{\frac{1}{7\ln n}} \) si può riscrivere come \(\displaystyle n^{-\frac{1}{7}} \).
Quindi quando passi al limite, complessivamente, ottieni una forma indeterminata.
E il limite non è risolto ...
\(\displaystyle e^{\frac{1}{7\ln n}} \) si può riscrivere come \(\displaystyle n^{-\frac{1}{7}} \).
Quindi quando passi al limite, complessivamente, ottieni una forma indeterminata.
E il limite non è risolto ...
"*Ely":
non sono d'accordo,
\(\displaystyle e^{\frac{1}{7\ln n}} \) si può riscrivere come \(\displaystyle n^{-\frac{1}{7}} \).
Quindi quando passi al limite, complessivamente, ottieni una forma indeterminata.
E il limite non è risolto ...
ti chiedo scusa... ma da come hai scritto il limie si capiva male, ho confuso le frazioni dell'esponente ...
in ogni dopo un pò di passaggi semplici arrivi a
\begin{align*}
\frac{6}{7}+\alpha^n\cdot \frac{1}{7\ln n}
\end{align*}
dove non ci sono forme indeterminate e si risolve facilmente ...
ho
\(\displaystyle (n^{-1/7})( \alpha^n) + (n^{-1/7})(6 \ln n) - 6\ln n - \alpha ^n \)
mi fai vedere i semplici passaggi?
\(\displaystyle (n^{-1/7})( \alpha^n) + (n^{-1/7})(6 \ln n) - 6\ln n - \alpha ^n \)
mi fai vedere i semplici passaggi?
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty} e^{\frac{1}{7\ln n}}\cdot6\ln n+\alpha ^n e^{\frac{1}{7\ln n}}-\alpha ^n-6\ln n&= \lim_{n\to+\infty} 6\ln n\left( e^{\frac{1}{7\ln n}}-1\right) +\alpha^n\left( e^{\frac{1}{7\ln n}}-1\right)\\
&\sim \lim_{n\to+\infty} 6\ln n \cdot\frac{1}{7\ln n} +\alpha^n\cdot\frac{1}{7\ln n}\\
& = \lim_{n\to+\infty} \frac{6}{7} + \frac{\alpha^n}{7\ln n}= \begin{cases}\frac{6}{7}, & \mbox{se }|\alpha|\le1 \\\\+ \infty, & \mbox{se } \alpha >1\\\\
\not{\exists}, & \mbox{se } \alpha <-1
\end{cases}\end{align*}
&\sim \lim_{n\to+\infty} 6\ln n \cdot\frac{1}{7\ln n} +\alpha^n\cdot\frac{1}{7\ln n}\\
& = \lim_{n\to+\infty} \frac{6}{7} + \frac{\alpha^n}{7\ln n}= \begin{cases}\frac{6}{7}, & \mbox{se }|\alpha|\le1 \\\\+ \infty, & \mbox{se } \alpha >1\\\\
\not{\exists}, & \mbox{se } \alpha <-1
\end{cases}\end{align*}
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