Limite con valore assoluto

[jadugar1]

Ciao a tutti come si può risolvere un limite del genere ??

$ lim_(x -> 0) |x| / (x^2+x ) = lim_(x -> 0) |x| / (x(x+1)) = lim_(x -> 0) |x| / x * lim_(x -> 0) 1 / (x+1) = lim_(x -> 0) |x| / x *1 = ??? $

cioè il $|x| / x$ come lo posso semplificare ??

grazie in anticipo

[Seneca1]

Distingui i due casi...

$x > 0$ hai $lim_(x -> 0) |x| / x = lim_(x -> 0) x / x = 1$

$x < 0$ hai $lim_(x -> 0) |x| / x = lim_(x -> 0) - x / x = - 1$

E ora puoi concludere che...

[jadugar1]

"Seneca":Distingui i due casi...

$x > 0$ hai $lim_(x -> 0) |x| / x = lim_(x -> 0) x / x = 1$

$x < 0$ hai $lim_(x -> 0) |x| / x = lim_(x -> 0) - x / x = - 1$

E ora puoi concludere che...

Ciao Seneca, bello risentirti, grazie per la risposta.

Posso concludere che la f(x) in x=0 è discontinua(ma lo sapevo già dal campo di esistenza) e la discontinuità è di prima specie...giusto??

Ciao grazie

[Seneca1]

Giusto. In particolare puoi concludere che quel limite non esiste.

[jadugar1]

... .. il limite non esiste xk il limite in 2 punti non può tendere a 2 valori differenti..E altri quali casi non esiste il limite??

grazie
ciao

[Albert Wesker 27]

Un esempio classico di limite che non esiste è $ lim_(x -> 0) sen(1/x) $ che è però un caso un pò particolare. In generale, esiste il limite $ lim_(x -> x_0 ) f(x) $ se i due limiti laterali esistono e sono fra di loro uguali: se $lim_(x -> (x_0)^- ) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+ ) f(x) = L$ , allora $ lim_(x -> x_0 ) f(x) $ esiste e vale $L$.

[Paolo902]

"Albert Wesker 27":Un esempio classico di limite che non esiste è $ lim_(x -> 0) sen(1/x) $ che è però un caso un pò particolare.

Ancora più semplice: $lim_(x to 0) 1/x$ non esiste, proprio per la ragione che esponi tu nel post di sopra.

[Albert Wesker 27]

Esatto! Capito jadugar?

Per quanto rigurda $f(x)=sen(1/x)$, te l'ho citata perchè è uno dei rari (?) esempi in cui non esiste nè il limite destro nè il limite sinistro per x che tende a zero. Se sei interessato cerca qualcosa o chiedi pure qui ma non ti preoccupare: è un caso particolare che credo sia più una curiosità, non qualcosa di cosi importante.

[jadugar1]

Ok allora se $lim_(x -> (x_0)^- ) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+ ) f(x) = L$ , ma non è detto che la funzione in quel punto sia continua..giusto??

per essere continua deve essere $ lim_(x -> x_0 ) f(x) = f(x_0) $ cio è $ lim_(x -> (x_0)^- ) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+ ) f(x) = f(x_0) $

ciao
grazie

[Seneca1]

"jadugar":Ok allora se $lim_(x -> (x_0)^- ) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+ ) f(x) = L$ , ma non è detto che la funzione in quel punto sia continua..giusto??

per essere continua deve essere $ lim_(x -> x_0 ) f(x) = f(x_0) $ cio è $ lim_(x -> (x_0)^- ) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+ ) f(x) = f(x_0) $

ciao
grazie

Certo... Nel caso in cui $x_0$ sia di accumulazione.

[jadugar1]

Si esatto!!!....una altra domanda..stupida..come faccio a capire se è un punto di accumulazione??...

[Seneca1]

"jadugar":Si esatto!!!....una altra domanda..stupida..come faccio a capire se è un punto di accumulazione??...

Tramite la definizione di punto di accumulazione!

[jadugar1]

ok si..però non c'è un calcolo da fare..devo solo tener presente la definizione..Grazie seneca