Limite con un parametro

[ludwigZero]

Salve
La professoressa ha dato questo limite:

$lim_(x->0) x^A [[Log(cos x)]/[x^4 + 6 sin (x^2)] +1/12]$

facendoci notare che il limite allinterno per x che va a 0 è proprio 0

devo trovare A per cui il limite è non nullo.

Ho pensato di moltiplicare e usare de Hopital, così da porre il limite a diverso da 0 e trovare A con un'equazione, ma più vado avanti e più diventa un numeratore assurdo da derivare volta per volta

suggerimenti su come operare ?


grazie.

[Weierstress]

Sviluppa con Taylor.

[ludwigZero]

"Weierstress":Sviluppa con Taylor.

ah ecco, sviluppo fino al secondo ordine o al terzo?

da cosa lo capisco?

[Weierstress]

Comincia a sviluppare il denominatore, poi sviluppi il numeratore fino allo stesso ordine (la prima potenza non trascurabile che compare al denominatore).

[ludwigZero]

"Weierstress":Comincia a sviluppare il denominatore, poi sviluppi il numeratore fino allo stesso ordine (la prima potenza non trascurabile che compare al denominatore).

Ho fatto così:

$x^a [(-x^2)/2 -(x^4)/12]/(x^4 + 6(x^2 -(x^6)/6)]$

ma semplificando mi viene:

$-x^a /12$

ma poi, aggiungendo l'altra parte del limite mi ritrovo con

$-x^a /12 + x^a /12$

e non va bene perchè deve venire diverso da 0..

[Weierstress]

$x^a [(log(cos x))/(x^4 + 6 sin (x^2)) +1/12]=x^a[(12log(cosx)+x^4 + 6 sin (x^2))/(12(x^4 + 6 sin (x^2)))]=x^a[(12log(cosx)+x^4 + 6 sin (x^2))/(72x^2+o(x^2))]=x^a[(12(-x^2/2)+x^4+6x^2+o(x^2))/(72x^2+o(x^2))]=x^a[(x^4+o(x^4))/(72x^2+o(x^2))]$

Concludi tu...

[ludwigZero]

$ x^(a+2) (72)$

se $a =-2$ allora viene 1/72

va bene?

[Weierstress]

Sì.