Limite con taylor o notevoli
ciao a tutti!
devo calcolare il limite per x->0 di questa funzione
$ \frac{(e^x-1)^2 + log(1+x^4-x^2)-arctan(x^3)}{x^4} $
il problema è che questo limite è stato risolto nel foglio soluzioni con taylor mentre io l'ho risolto con i limiti notevoli, siccome sono piuttosto evidenti. al numeratore, risolvendolo con i limiti notevoli, ottengo
$ x^4-x^3 $
quindi il risultato, se non erro, viene -∞ per la gerarchia degli infinitesimi. con taylor invece risulta 13/12.
ho fatto io qualche errore o avrei dovuto necessariamente procedere con taylor? se si come faccio a capire che usare taylor è la strada giusta? grazie:)
devo calcolare il limite per x->0 di questa funzione
$ \frac{(e^x-1)^2 + log(1+x^4-x^2)-arctan(x^3)}{x^4} $
il problema è che questo limite è stato risolto nel foglio soluzioni con taylor mentre io l'ho risolto con i limiti notevoli, siccome sono piuttosto evidenti. al numeratore, risolvendolo con i limiti notevoli, ottengo
$ x^4-x^3 $
quindi il risultato, se non erro, viene -∞ per la gerarchia degli infinitesimi. con taylor invece risulta 13/12.
ho fatto io qualche errore o avrei dovuto necessariamente procedere con taylor? se si come faccio a capire che usare taylor è la strada giusta? grazie:)
Risposte
Saranno anche "evidenti" ma non sono precisi! I limiti notevoli altro non sono che lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine. In questo caso non è sufficiente... devi sviluppare più termini.
grazie della risposta,
come faccio a capire quando devo sviluppare in più termini o mi basta al primo ordine?
come faccio a capire quando devo sviluppare in più termini o mi basta al primo ordine?
In pratica quando sviluppi la funzione $f$ in un punto $x_0$ ottieni che $f(x)~p(x-x_0)+o(|x-x_0|^n)$ per $x\to x_0$. Quello che NON deve succedere è che una volta sviluppato ti rimanga solo l'o-piccolo. Ti faccio un esempio: se hai
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x) \ln (1+x)}{x^3},
\]
sviluppando $\sin(x)$ e $\ln(1+x)$ al primo ordine ottieni
\[
\frac{\sin (x) \ln (1+x)}{x^3} \sim \frac{x^2+o(x^2)}{x^3}\qquad (x\to 0),
\]
e quindi va bene (perché a numeratore non hai solo l'o-piccolo, ma anche $x^2$). Se invece fosse
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x) \ln (1+x)-x^2}{x^3},
\]
sviluppando solo al primo ordine otterremmo
\[
\frac{\sin (x) \ln (1+x)-x^2}{x^3}\sim\frac{x^2+o(x^2)-x^2}{x^3}=\frac{x^2+o(x^2)-x^2}{x^3}=\frac{o(x^2)}{x^3}\qquad (x\to 0),
\]
e così non va bene perché a numeratore hai solo l'o-piccolo.
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x) \ln (1+x)}{x^3},
\]
sviluppando $\sin(x)$ e $\ln(1+x)$ al primo ordine ottieni
\[
\frac{\sin (x) \ln (1+x)}{x^3} \sim \frac{x^2+o(x^2)}{x^3}\qquad (x\to 0),
\]
e quindi va bene (perché a numeratore non hai solo l'o-piccolo, ma anche $x^2$). Se invece fosse
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x) \ln (1+x)-x^2}{x^3},
\]
sviluppando solo al primo ordine otterremmo
\[
\frac{\sin (x) \ln (1+x)-x^2}{x^3}\sim\frac{x^2+o(x^2)-x^2}{x^3}=\frac{x^2+o(x^2)-x^2}{x^3}=\frac{o(x^2)}{x^3}\qquad (x\to 0),
\]
e così non va bene perché a numeratore hai solo l'o-piccolo.
Sono d'accordo con @billyballo!
Infatti se il limite fosse stato
$lim_(x->0)((e^x-1)^2+log (1+x^2+x^4)-tan^(-1)(x^3))/(x^4) $ allora si poteva risolvere con il solo uso dei limiti notevoli
infatti avremmo avuto $lim_(x->0)(2x^2+o (x^2))/(x^4)=$ $lim_(x->0)(2x^2)/(x^4)=+infty $
Infatti se il limite fosse stato
$lim_(x->0)((e^x-1)^2+log (1+x^2+x^4)-tan^(-1)(x^3))/(x^4) $ allora si poteva risolvere con il solo uso dei limiti notevoli
infatti avremmo avuto $lim_(x->0)(2x^2+o (x^2))/(x^4)=$ $lim_(x->0)(2x^2)/(x^4)=+infty $
Credo sia necessaria una precisazione: nell'esercizio che hai postato all'inizio, troncando lo sviluppo al primo ordine otteniamo
\[
\frac{x^2+o(x^2)+(x^4-x^2)+o(x^4-x^2)-x^3+o(x^3)}{x^4}=\frac{x^4-x^3+o(x^2)}{x^4}\qquad (x\to 0),
\]
($o(x^4-x^3) $ e $o(x^3)$ li puoi "buttare" in $o(x^2)$) però sebbene ti rimangano altri termini oltre a $o(x^2)$, non puoi comunque concludere che il numeratore è asintotico a $x^4-x^3$, perché in $o(x^2)$ potrebbero esserci sia termini che vanno a zero più velocemente di $x^4-x^3$ sia termini che vanno a zero più lentamente. In sostanza, devi sviluppare ulteriormente per avere
\[
(e^x-1)^2=\bigg(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)-1\bigg)^2=x^2+x^3+\frac{7}{12}x^4+o(x^4),
\]
\[
\ln(1+x^4-x^2)=x^4-x^2-\frac{(x^4-x^2)^2}{2}+o(x^4)=-x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)
\]
e infine
\[
\arctan(x^3)=x^3+o(x^4).
\]
Riassumendo a numeratore rimane
\[
x^2+x^3+\frac{7}{12}x^4+o(x^4)-x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)-x^3+o(x^4)=\frac{13}{12}x^4+o(x^4).
\]
Ora puoi "buttare" $o(x^4)$ perché sei sicuro che va a zero più velocemente di $13/12 x^4$.
\[
\frac{x^2+o(x^2)+(x^4-x^2)+o(x^4-x^2)-x^3+o(x^3)}{x^4}=\frac{x^4-x^3+o(x^2)}{x^4}\qquad (x\to 0),
\]
($o(x^4-x^3) $ e $o(x^3)$ li puoi "buttare" in $o(x^2)$) però sebbene ti rimangano altri termini oltre a $o(x^2)$, non puoi comunque concludere che il numeratore è asintotico a $x^4-x^3$, perché in $o(x^2)$ potrebbero esserci sia termini che vanno a zero più velocemente di $x^4-x^3$ sia termini che vanno a zero più lentamente. In sostanza, devi sviluppare ulteriormente per avere
\[
(e^x-1)^2=\bigg(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)-1\bigg)^2=x^2+x^3+\frac{7}{12}x^4+o(x^4),
\]
\[
\ln(1+x^4-x^2)=x^4-x^2-\frac{(x^4-x^2)^2}{2}+o(x^4)=-x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)
\]
e infine
\[
\arctan(x^3)=x^3+o(x^4).
\]
Riassumendo a numeratore rimane
\[
x^2+x^3+\frac{7}{12}x^4+o(x^4)-x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)-x^3+o(x^4)=\frac{13}{12}x^4+o(x^4).
\]
Ora puoi "buttare" $o(x^4)$ perché sei sicuro che va a zero più velocemente di $13/12 x^4$.
Se non ho capito male il problema è che io sommo gli asintotici del numeratore e non tengo conto degli o-piccoli. se tenessi conto degli o-piccoli allora l'espressione sarebbe questa, giusto?
$ x^2+o(x^2)+(x^4+x^2)+o(x^2)-x^3+o(x^3) $
e in questo caso, siccome elimino gli $x^2$ mi rimangono lo stesso gli $o(x^2)$, che porterebbero alla forma indeterminata(?).
Quindi con taylor andrei a rendere più preciso l'asintotico e avrei degli o-piccoli che si possono tralasciare.
$ x^2+o(x^2)+(x^4+x^2)+o(x^2)-x^3+o(x^3) $
e in questo caso, siccome elimino gli $x^2$ mi rimangono lo stesso gli $o(x^2)$, che porterebbero alla forma indeterminata(?).
Quindi con taylor andrei a rendere più preciso l'asintotico e avrei degli o-piccoli che si possono tralasciare.
Ho anticipato la tua domanda con la "precisazione" che ho fatto 
sisi l'ho vista ora vi ringrazio molto!
vi ringrazio molto!
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