Limite con Taylor: dubbio o-piccoli
il mio limite di questa sera è questo..
$ lim_(x -> 0) (x e^(x^2) - sin x)/(x sin (x^2)) $
l'unico metodo mi pare sia Taylor...gli altri non mi hanno dato risultati decenti..
bene...primo dubbio: gli sviluppi di MacLaurin sono giusti così?
$ e^(x^2)=1+x^2+o(x^3) $
$ sin (x^2)= x^2+o(x^3) $
perché l'o-piccolo si "mangia" i termini di grado superiore se non sbaglio..
arrivo a questo punto $ lim_(x -> 0) (7/6 x^3+o(x^4))/(x^3+o(x^4)) $
concludo che il limite fa $7/6$ ...ma per essere rigorosi ora, come si farebbe per togliere gli o-piccolo???
$ lim_(x -> 0) (x e^(x^2) - sin x)/(x sin (x^2)) $
l'unico metodo mi pare sia Taylor...gli altri non mi hanno dato risultati decenti..
bene...primo dubbio: gli sviluppi di MacLaurin sono giusti così?
$ e^(x^2)=1+x^2+o(x^3) $
$ sin (x^2)= x^2+o(x^3) $
perché l'o-piccolo si "mangia" i termini di grado superiore se non sbaglio..
arrivo a questo punto $ lim_(x -> 0) (7/6 x^3+o(x^4))/(x^3+o(x^4)) $
concludo che il limite fa $7/6$ ...ma per essere rigorosi ora, come si farebbe per togliere gli o-piccolo???
Risposte
Ciao.
Credo che tu abbia dimenticato di elevare al quadrato l'esponenziale nel testo dell'esercizio
Comunque al punto in cui sei arrivato devi dividere numeratore e denominatore per [tex]x^3[/tex].
Credo che tu abbia dimenticato di elevare al quadrato l'esponenziale nel testo dell'esercizio
Comunque al punto in cui sei arrivato devi dividere numeratore e denominatore per [tex]x^3[/tex].
giusto!! $(o(x^3))/x^4=0$ grazie! non ho una grande familiarità con gli o-piccoli
"pieerr":
giusto!! $(o(x^3))/x^4=0$ grazie! non ho una grande familiarità con gli o-piccoli
$(o(x^3))/x^4 -> 0$ è sbagliato.
Attento che da quel limite tu ottieni
[tex]\frac{o(x^4)}{x^3}[/tex]
Visto che si parla di infinitesimi, il numeratore è più potente e quindi più piccolo
[tex]\frac{o(x^4)}{x^3}[/tex]
Visto che si parla di infinitesimi, il numeratore è più potente e quindi più piccolo
Non so se posso intromettermi xD
Io posto i miei calcoli (se sono fatti male, me ne scuso)
$sin(x^2)=x^2-(x^6/6)+x^10/5!+o(x^10)$
$e^x^2=1+x^2+(x^4/2)+(x^6)/6+o(x^8)$
il limite alla fine mi viene cosi (trascurando gli ordine maggiori a $o(x^3)$)
$(7/6)*x^3/x^3=7/6$
non so se è giusto.
ciao
Io posto i miei calcoli (se sono fatti male, me ne scuso)
$sin(x^2)=x^2-(x^6/6)+x^10/5!+o(x^10)$
$e^x^2=1+x^2+(x^4/2)+(x^6)/6+o(x^8)$
il limite alla fine mi viene cosi (trascurando gli ordine maggiori a $o(x^3)$)
$(7/6)*x^3/x^3=7/6$
non so se è giusto.
ciao
si mi sono confuso..ma ho capito.. grazie!! 
Scusate se mi intrometto ragazzi ma mi servirebbe un chiarimento...
io ho letto, correggetemi se giusto, che per utilizzare gli sviluppi di taylor devo stare attendo quando ci sono le frazioni a sviluppare il numeratore ad un ordine maggiore uguale del denominatore.Giusto?
A questo punto mi chiedo:nel denominatore si sviluppa senx solo fino al primo ordine cioè $sin(x^2)=x^2$, quindi al numeratore dobbiamo stare attenti a sviluppare almeno fino al primo ordine.
L'esponenziale lo sviluppiamo anch'esso fino al primo ordine: $e^(x^2)=1+x^2$ mentre il seno del numeratore lo sviluppiamo fino al terzo: $sin(x)=x-(x^3/6)$.
Perchè?Non bastava fermarsi al primo anche per quest'ultimo?
io ho letto, correggetemi se giusto, che per utilizzare gli sviluppi di taylor devo stare attendo quando ci sono le frazioni a sviluppare il numeratore ad un ordine maggiore uguale del denominatore.Giusto?
A questo punto mi chiedo:nel denominatore si sviluppa senx solo fino al primo ordine cioè $sin(x^2)=x^2$, quindi al numeratore dobbiamo stare attenti a sviluppare almeno fino al primo ordine.
L'esponenziale lo sviluppiamo anch'esso fino al primo ordine: $e^(x^2)=1+x^2$ mentre il seno del numeratore lo sviluppiamo fino al terzo: $sin(x)=x-(x^3/6)$.
Perchè?Non bastava fermarsi al primo anche per quest'ultimo?
io ho sviluppato tutto al terzo ordine..poi ci sono delle potenze diverse per colpa degli o-piccolo...perché per esempio.. $x^5+o(x^3)=o(x^3)$
comunque io di solito per l'ordine dei polinomi di Taylor guardo le altre potenze in gioco...se ci fosse una somma\differenza con una potenza n...allora n è il grado del polinomio che cerchi..questa cosa del numeratore di grado maggiore uguale non la sapevo...
comunque io di solito per l'ordine dei polinomi di Taylor guardo le altre potenze in gioco...se ci fosse una somma\differenza con una potenza n...allora n è il grado del polinomio che cerchi..questa cosa del numeratore di grado maggiore uguale non la sapevo...
La regola più semplice per sviluppare i polinomi è quella di svilupparli fino a quando ne abbiamo bisogno.
Al numeratore noi abbiamo [tex]xe^{x^2}[/tex] al quale sottraiamo [tex]sen(x)[/tex].
Per entrambi il primo termine è uguale e si cancella... sono costretto a controllare il secondo termine dello sviluppo.
Il secondo termine dello sviluppo è per entrambi un [tex]x^3[/tex] che non si cancella. A questo punto anche se vado avanti, non ottengo nessuna informazione utile in più, in quanto il termine dominante rimane quello di terzo grado.
In generale direi che se ti rimangono degli o-piccoli da soli, senza vicino il termine dominante rispetto al quale sono trascurabili, allora hai sviluppato troppo poco.
Al numeratore noi abbiamo [tex]xe^{x^2}[/tex] al quale sottraiamo [tex]sen(x)[/tex].
Per entrambi il primo termine è uguale e si cancella... sono costretto a controllare il secondo termine dello sviluppo.
Il secondo termine dello sviluppo è per entrambi un [tex]x^3[/tex] che non si cancella. A questo punto anche se vado avanti, non ottengo nessuna informazione utile in più, in quanto il termine dominante rimane quello di terzo grado.
In generale direi che se ti rimangono degli o-piccoli da soli, senza vicino il termine dominante rispetto al quale sono trascurabili, allora hai sviluppato troppo poco.
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