Limite con Taylor - come procedere con le approssimazioni
Sempre dal testo di Analisi:
calcola:
$lim_{x \rarr 0} sqrt(1+x^2)^(\frac{tan2x - 2x}{(x+5x^2)*(e^(2x^2) -1-ln(1+2x^2))})$
Allora: so da Derive che questo limite viene $e^(1/3)$. Ma come ci si arriva?
Innanzitutto ho applicato la trasformazione nota: $[f(x)]^g(x) = e^[g(x)*ln(f(x))]$, quindi il mio limite diventa:
$lim_{x \rarr 0} e^\frac{(tan2x -2x)*(ln(sqrt(1+x^2)))}{(x+5x^2)*(e^(2x^2) -1-ln(1+2x^2))}$
Con Taylor ho cercato di semplificare l'esponente, attuando le seguenti trasformazioni:
$sqrt(1+x^2)= 1+1/2 x^2+o(x^2)$
$ln(1+(x^2)/2)= 1/2 x^2 - 1/8 x^4 +o(x^4)$
$tan2x=2x+8/3 x^3+o(x^3)$
$e^(2x^2)=1+2x^2+o(x^2)$
$ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+o(x^4)$
Così facendo ottengo però come esponente: $\frac{8/6 x^5 -1/3 x^7 +o(x^7)}{2x^5+10x^6+o(x^6)}$, la quale parte principale non tende affatto a $1/3$.
Devo per forza aver sbagliato qualcosa in qualche passaggio. Qualcuno mi può illuminare?
Grazie mille.
calcola:
$lim_{x \rarr 0} sqrt(1+x^2)^(\frac{tan2x - 2x}{(x+5x^2)*(e^(2x^2) -1-ln(1+2x^2))})$
Allora: so da Derive che questo limite viene $e^(1/3)$. Ma come ci si arriva?
Innanzitutto ho applicato la trasformazione nota: $[f(x)]^g(x) = e^[g(x)*ln(f(x))]$, quindi il mio limite diventa:
$lim_{x \rarr 0} e^\frac{(tan2x -2x)*(ln(sqrt(1+x^2)))}{(x+5x^2)*(e^(2x^2) -1-ln(1+2x^2))}$
Con Taylor ho cercato di semplificare l'esponente, attuando le seguenti trasformazioni:
$sqrt(1+x^2)= 1+1/2 x^2+o(x^2)$
$ln(1+(x^2)/2)= 1/2 x^2 - 1/8 x^4 +o(x^4)$
$tan2x=2x+8/3 x^3+o(x^3)$
$e^(2x^2)=1+2x^2+o(x^2)$
$ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+o(x^4)$
Così facendo ottengo però come esponente: $\frac{8/6 x^5 -1/3 x^7 +o(x^7)}{2x^5+10x^6+o(x^6)}$, la quale parte principale non tende affatto a $1/3$.
Devo per forza aver sbagliato qualcosa in qualche passaggio. Qualcuno mi può illuminare?
Grazie mille.
Risposte
Strano.. anche a me viene come te..XD
Sicuro di non aver sbagliato a scrivere su Derive ?
Sicuro di non aver sbagliato a scrivere su Derive ?
Forse entrambi avete dimenticato che $1/3$ è l'esponente di $e$??? 
"K.Lomax":
Forse entrambi avete dimenticato che $1/3$ è l'esponente di $e$???
Sisi certo quello credo che l' abbia ricordato anche lui.. però dai calcoli di entrambi si arriva a: $e^(2/3)$
Certo, $1/3$ è l'esponente di e. E ho ricontrollato con Derive. Il risultato è giusto, è il procedimento di approssimazione con Taylor che deve essere sbagliato in qualche punto.
La mia domanda era proprio questa: come capisco dove fermarmi con l'approssimazione di Taylor in questi casi? Perché a seconda di quanto approssimo, il risultato mi cambia.
La mia domanda era proprio questa: come capisco dove fermarmi con l'approssimazione di Taylor in questi casi? Perché a seconda di quanto approssimo, il risultato mi cambia.
"Zerogwalur":
$sqrt(1+x^2)= 1+1/2 x^2+o(x^2)$
$ln(1+(x^2)/2)= 1/2 x^2 - 1/8 x^4 +o(x^4)$
Guarda che tu non hai $ln(1+(x^2)/2)$ ma $ln(sqrt(1+x^2) )= ln(1+ (sqrt(1+x^2) -1)) = ln (1+(1+1/2 x^2+o(x^2)))$
quindi secondo me ti sei scordato sia l'uno che l'infinitesimo. Ossia, gli infinitesimi li devi reinserire negli sviluppi di funzioni composte e devi fare i conti con loro applicando le regole di "algebra con gli infinitesimi" (che non dovrebbero essere usate a memoria o potrebbero condurre a qualche casino).
"Zerogwalur":
La mia domanda era proprio questa: come capisco dove fermarmi con l'approssimazione di Taylor in questi casi? Perché a seconda di quanto approssimo, il risultato mi cambia.
Vedi, non può cambiare, stai calcolando un limite, e in $ RR $ esiste il teorema dell'unicità del limite.
Quindi se cambia significa che hai sbagliato qualcosa.
Se non inserisci abbastanza termini degli sviluppi di Taylor, semplicemente il limite dovrebbe rimanere irrisolto in quanto tu hai "eliminato i termini" che ti servivano per risolverlo...
Ciao
Scusate se mi intrometto, ma io farei così: prima di tutto svilupperei quell'esponente e vedrei quanto viene in termini di parte principale. Poiché
$\tan 2x-2x=8/3 x^3+o(x^3)$,
$e^{2x^2}-1=2x^2+2x^4+o(x^4)$,
$\ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+o(x^4)$
allora
$\frac{ \tan 2x-2x }{(x+5x^2)(e^{2x^2}-1-\ln(1+2x^2))}=\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{(x+5x^2)(4x^4)+o(x^4)}=\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}$
dove ho tralasciato al denominatore i termini di ordine maggiore. Ora usando l'identità nella definizione di esponenziale si ha
$\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{1+x^2}^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2\ln(1+x^2)}$
ed usando lo sviluppo $\ln(1+x^2)=x^2+o(x^2)$ si ha
$\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2\ln(1+x^2)}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2(x^2+o(x^2))}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/6 x^5+o(x^5)}{4x^5+o(x^5)}}=e^{1/3}$
$\tan 2x-2x=8/3 x^3+o(x^3)$,
$e^{2x^2}-1=2x^2+2x^4+o(x^4)$,
$\ln(1+2x^2)=2x^2-2x^4+o(x^4)$
allora
$\frac{ \tan 2x-2x }{(x+5x^2)(e^{2x^2}-1-\ln(1+2x^2))}=\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{(x+5x^2)(4x^4)+o(x^4)}=\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}$
dove ho tralasciato al denominatore i termini di ordine maggiore. Ora usando l'identità nella definizione di esponenziale si ha
$\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{1+x^2}^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2\ln(1+x^2)}$
ed usando lo sviluppo $\ln(1+x^2)=x^2+o(x^2)$ si ha
$\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2\ln(1+x^2)}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/3 x^3+o(x^3)}{4x^5+o(x^5)}\cdot 1/2(x^2+o(x^2))}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{8/6 x^5+o(x^5)}{4x^5+o(x^5)}}=e^{1/3}$
@leonardo: hai ragione, errore mio. Per altro corretto nell'esecuzione di ciampax.
@ciampax: Mi torna quasi tutto quello che hai scritto, tranne una cosa. Che poi è proprio quello che volevo sapere.
Perché hai fatto così? é questo che mi interessa e che non so applicare. Io $5x^2$ non l'ho escluso, e infatti non mi è tornato il limite.
Su quale base hai potuto tralasciare quel termine?
Grazie ancora a tutti!
@ciampax: Mi torna quasi tutto quello che hai scritto, tranne una cosa. Che poi è proprio quello che volevo sapere.
"ciampax":
dove ho tralasciato al denominatore i termini di ordine maggiore.
Perché hai fatto così? é questo che mi interessa e che non so applicare. Io $5x^2$ non l'ho escluso, e infatti non mi è tornato il limite.
Su quale base hai potuto tralasciare quel termine?
Grazie ancora a tutti!
non è stato tralasciato direttamente il $5x^2$ per particolari motivi, ma semplicemente per il fatto che: essendo di grado maggiore rispetto al termine $x$ che sta nella sua stessa parentesi, "produrrà" certamente termini di grado superiore a quelli ottenuti con la $x$. Cmq è sempre meglio controllare tutti i prodotti, perchè nel caso in cui alcuni termini di grado basso si eliminino da soli devo intevenire quelli di grado maggiore..
e cmq.. come è possibile che cambi il risultato se tiene anche $5x^2$ ? guarda che ottieni un termine in $x^6$ che quindi rientrerebbe in $o(x^5)$
e cmq.. come è possibile che cambi il risultato se tiene anche $5x^2$ ? guarda che ottieni un termine in $x^6$ che quindi rientrerebbe in $o(x^5)$
"stefano_89":
non è stato tralasciato direttamente il $5x^2$ per particolari motivi, ma semplicemente per il fatto che: essendo di grado maggiore rispetto al termine $x$ che sta nella sua stessa parentesi, "produrrà" certamente termini di grado superiore a quelli ottenuti con la $x$. Cmq è sempre meglio controllare tutti i prodotti, perchè nel caso in cui alcuni termini di grado basso si eliminino da soli devo intevenire quelli di grado maggiore..
e cmq.. come è possibile che cambi il risultato se tiene anche $5x^2$ ? guarda che ottieni un termine in $x^6$ che quindi rientrerebbe in $o(x^5)$
Quotissimo Stefano! Grazie per aver risposto al posto mio!
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