Limite con taylor aiuto!
Il limite in questione è il seguente:
per \(\displaystyle x \rightarrow \infty \)
\(\displaystyle \frac{cos(x^x) + x^2 - 1}{x^4 log(cos(\frac{2}{x})) - x^{-x}} \)
Prima di procedere volevo chiedervi:
1) Siccome l'argomento del coseno a numeratore tende a \(\displaystyle + \infty \) è da omettere?
2) A denominatore come faccio ad usare taylor per il logaritmo? non ho la forma standard \(\displaystyle log(1 + f(x)) \)
Grazie
per \(\displaystyle x \rightarrow \infty \)
\(\displaystyle \frac{cos(x^x) + x^2 - 1}{x^4 log(cos(\frac{2}{x})) - x^{-x}} \)
Prima di procedere volevo chiedervi:
1) Siccome l'argomento del coseno a numeratore tende a \(\displaystyle + \infty \) è da omettere?
2) A denominatore come faccio ad usare taylor per il logaritmo? non ho la forma standard \(\displaystyle log(1 + f(x)) \)
Grazie
Risposte
1) Si
2) Prova a sviluppare un po' il coseno e vedrai.
2) Prova a sviluppare un po' il coseno e vedrai.
viene \(\displaystyle log (1 - \frac{2}{x^2} + o(\frac{1}{x^3}))\) ora nell'usare taylor nella forma standard che prima citavo, cioè \(\displaystyle log(1 + f(x)) \), in \(\displaystyle f(x) \) deve anche inserito \(\displaystyle o(\frac{1}{x^3}) ? \)
Poi c'è un'altra cosa che non ho be capito, dopo aver sviluppato il coseno con taylor fino al grado \(\displaystyle n=3 \) come minimo devo farlo anche con il logaritmo?
aiutino??
"davidedesantis":
1) Siccome l'argomento del coseno a numeratore tende a \(\displaystyle + \infty \) è da omettere?
Devi essere preciso... Se intendi trascurare il coseno, sappi che lo puoi fare non perché il coseno ha un argomento che ha limite $+oo$ ma perché è una funzione limitata ed al numeratore hai, oltre al coseno, $x^2$ che è un infinito...
"davidedesantis":
viene \(\displaystyle log (1 - \frac{2}{x^2} + o(\frac{1}{x^3}))\) ora nell'usare taylor nella forma standard che prima citavo, cioè \(\displaystyle log(1 + f(x)) \), in \(\displaystyle f(x) \) deve anche inserito \(\displaystyle o(\frac{1}{x^3}) ? \)
$1/x^x -> 0$ per $x -> +oo$ e quindi non dà problemi al denominatore.
Resta da risolvere la forma indeterminata $0 * +oo$, cioè $x^4 * log (1 + (- 2/x^2 + o(1/x^3)) )$.
Direi che è sufficiente un'approssimazione di questo tipo: $log( 1 + (- 2/x^2 + o(1/x^3)) ) =(- 2/x^2 + o(1/x^3)) + o((- 2/x^2 + o(1/x^3)))$ ($x -> +oo$).
Seneca sei proprio un grande!
Adesso davanti a ciò che hai scritto ho un \(\displaystyle x^4 \) che lo moltiplica.
Dovrebbe venire quindi:
\(\displaystyle -2x^2 + o(x) + o(-2x^2 + o(x)) \) si può snellire vero?
Adesso davanti a ciò che hai scritto ho un \(\displaystyle x^4 \) che lo moltiplica.
Dovrebbe venire quindi:
\(\displaystyle -2x^2 + o(x) + o(-2x^2 + o(x)) \) si può snellire vero?
si può scrivere \(\displaystyle -2x^2 + o(x)? \) perchè?
"Seneca":
[quote="davidedesantis"]viene \(\displaystyle log (1 - \frac{2}{x^2} + o(\frac{1}{x^3}))\) ora nell'usare taylor nella forma standard che prima citavo, cioè \(\displaystyle log(1 + f(x)) \), in \(\displaystyle f(x) \) deve anche inserito \(\displaystyle o(\frac{1}{x^3}) ? \)
$1/x^x -> 0$ per $x -> +oo$ e quindi non dà problemi al denominatore.
Resta da risolvere la forma indeterminata $0 * +oo$, cioè $x^4 * log (1 + (- 2/x^2 + o(1/x^3)) )$.
Direi che è sufficiente un'approssimazione di questo tipo: $log( 1 + (- 2/x^2 + o(1/x^3)) ) =(- 2/x^2 + o(1/x^3)) + o((- 2/x^2 + o(1/x^3)))$ ($x -> +oo$).[/quote]
Poni $1/x = t$ . Trovi:
$lim_( t -> 0^+ ) (- 2 t^2 + o(t^3) + o(- 2 t^2 + o(t^3)) )/(t^4)$
$ o(- 2 t^2 + o(t^3)) = o( t^2 )$ per le proprietà dell'o-piccolo.
Quindi a denominatore trovi: $- 2/t^2 + (o(t^2))/t^4$ .
$lim_(t -> 0^+) (1/t^2)/(- 2/t^2 + (o(t^2))/t^4 ) = lim_(t -> 0^+) (1)/(- 2 + (o(t^2))/t^2 ) = - 1/2$
capito ma perchè \(\displaystyle x^{-x} \) viene omesso? Grazie seneca
Ho scritto che $x^(-x) = 1/x^x$ non dà problemi.
Infatti $x^(-x) = e^log(x^(-x)) = e^( - x log(x) ) -> 0$ per $x -> +oo$.
Infatti $x^(-x) = e^log(x^(-x)) = e^( - x log(x) ) -> 0$ per $x -> +oo$.
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