Limite con taylor

[roccolo2]

visto che mi sto affezionando a questo forum...
vorrei cogliere l'occasione per ringraziarvi perchè altrimenti non saprei dove poter sbattere la testa..

dopo la sviolinata... vi posto subito un nuovo limite con taylor..

$lim_(x->0) (e^((sin(x))^2)-cos(2·x))/log((e^(x^2)+1)/2)$

mi blocco quando devo trovare questi sviluppi
$e^((sin(x))^2)$

$log(e^(x^2)+1)$

grazie ancora

p.s.
una curiosità :
ho provato a fare il limite con derive e maxima ma nessuno dei due riesce a risolverlo, (è un limite impossibile??)

edit:
disegnando il grafico della funzione ho visto che il risultato dovrebbe essere circa 6.

[piero_1]

"roccolo":vi posto subito un nuovo limite con taylor..

$lim_(x->0) (e^((sin(x))^2)-cos(2·x))/log((e^(x^2)+1)/2)$

edit:
disegnando il grafico della funzione ho visto che il risultato dovrebbe essere circa 6.

al numeratore, con Taylor abbiamo:

$T(x)_(0,5)=-(1/2)x^4+3x^2$
il denominatore prova a fartelo

[gugo82]

Mi pare non ci sia bisogno di sviluppare numeratore e denominatore "pedantemente" in potenze di $x$ per calcolare il limite, poiché basta fare uno sviluppo "intermedio" e ricordare i limiti fondamentali.

Al numeratore, occorre usare lo sviluppo di MacLaurin al second'ordine $e^(y^2)=1+y^2+"o"(y^2)$ con $y=sin x$ e ricordare la formula di duplicazione del coseno $cos2x=1-2sin^2x$.
Al denominatore occorre scrivere $ln((e^(x^2)+1)/2)=ln(1+(e^(x^2)-1)/2)$.
Fatto ciò e ricordati i limiti fondamentali:

$lim_(y\to 0) (ln(1+y))/(y)=1$ , $lim_(zto 0) (e^z-1)/z=1 \quad$ e $\quad lim_(t\to 0) (sin t)/t=1$,

l'esercizio è bello che risolto.

[piero_1]

La soluzione di Gugo82 è decisamente più elegante, la mia da "praticone". I 5 lustri trascorsi dagli esami di Analisi lasciano ruggine e cattive abitudini. Sic transit gloria mundi