Limite con Taylor
Usando l'approssimazione di Taylor determinare se esiste:
Usando l'approssimazione di cos(x) e ln(1+x) dovrebbe venire così:
E poi che devo fare? Mi viene sempre 0/0.
Ragazzi per favore potete spiegarmelo passaggio per passaggio? Sono troppo testone per capire se mi dite fai così o fai cosà....per favore. Vi ringrazio.
Usando l'approssimazione di cos(x) e ln(1+x) dovrebbe venire così:
E poi che devo fare? Mi viene sempre 0/0.
Ragazzi per favore potete spiegarmelo passaggio per passaggio? Sono troppo testone per capire se mi dite fai così o fai cosà....per favore. Vi ringrazio.
Risposte
Il punto è che non hai usato nessuna approssimazione, hai sostituito una funzione con un'altra. Lo sviluppo di Taylor termina sempre con "o piccolo" di qualcosa, e quasi tutti lo dimenticano, sebbene sia la cosa più importante da ricordare quando si approssima con Taylor.
Quindi comincia a riscrivere la frazione per bene mettendo lo sviluppo completo di Taylor.
Quindi comincia a riscrivere la frazione per bene mettendo lo sviluppo completo di Taylor.
Professore mi scusi ma prima di tutto vorrei chiederle un'altra cosa: in pratica quando faccio questo tipo di esercizi devo vedere se la serie di taylor della funzione converge in un punto?
Per sviluppo completo di Taylor intende f(x)+f'(x)*(x-c)+(f"(c))/2! ecc. ecc.?
Io ho trovato queste approssimazioni sul libro e ho sostituito, invece dovevo fare la derivata della funzione e poi metterla nella formula dello sviluppo completo?
La ringrazio molto per la risposta.
Per sviluppo completo di Taylor intende f(x)+f'(x)*(x-c)+(f"(c))/2! ecc. ecc.?
Io ho trovato queste approssimazioni sul libro e ho sostituito, invece dovevo fare la derivata della funzione e poi metterla nella formula dello sviluppo completo?
La ringrazio molto per la risposta.
No, non serve che la serie di Taylor converga, quello che devi inserire, per esempio invece che $cos x$ è, in un intorno di $x=0$, $1-x^2/2+o(x^2)$, e non solo $1-x^2/2$.
e quindi fatto questo mi rimane al numeratore O(x^2)
e al denominatore O(x^2). Quindi il limite torna 1?
Mi sà che non ho capito bene....
e al denominatore O(x^2). Quindi il limite torna 1?
Mi sà che non ho capito bene....
Allora, si ha $cos x-1=-x^2/2+o(x^2)$; inoltre, arrestandoci al primo ordine, $log(1+x)=x+o(x)$; dunque la frazione diventa
$(-x^2/2+o(x^2))^7/((x+o(x))^15$, da cui, raccogliendo
$(x^14(-1/2+(o(x^2))/(x^2)))/(x^15(1+(o(x))/x)^15)$.
Ora semplifichi e passi al limite.
$(-x^2/2+o(x^2))^7/((x+o(x))^15$, da cui, raccogliendo
$(x^14(-1/2+(o(x^2))/(x^2)))/(x^15(1+(o(x))/x)^15)$.
Ora semplifichi e passi al limite.
quindi il limite è -1/2?
Direi di no, resta anche $1/x$, quindi se uno passa ai limiti destro e sinistro, il limite dato non dovrebbe esistere.
é vero mi scusi x^14/x^15 fa' esattamente 1/x.
La ringrazio molto, ho capito il procedimento, adesso mi ripasso ulteriormente la teoria e faccio molti esercizi a riguardo.Se ho qualche dubbio lo posterò sul forum.Grazie mille per la cortesia,la rapidità delle risposte e sopratutto per la pazienza.
La ringrazio molto, ho capito il procedimento, adesso mi ripasso ulteriormente la teoria e faccio molti esercizi a riguardo.Se ho qualche dubbio lo posterò sul forum.Grazie mille per la cortesia,la rapidità delle risposte e sopratutto per la pazienza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo