Limite con Taylor
$ lim_(x -> 0-) ((arctan x^2)log(1+x))/(x^2+2cosx-2 $ Salve non riesco a capire perché per il seguente limite a me esce 0 ma per un calcolatore online il risultato è - infinito. Mi sono fermato al terzo ordine e considerato il termine di grado maggiore al numeratore ho x^3, invece al denominatore 1/2 x^2. Mi riuscireste ad aiutare? Spero di sì, grazie.
Risposte
Il risultato è $-\infty$. Infatti
$$\lim_{x\to0^-} \frac{(\arctan x^2)\ln(1+x)}{x^2+2\cos x-2}=\lim_{x\to0^-} \frac{\left(x^2+\text{o}(x^2)\right)\left(x+\text{o}(x)\right)}{x^2+2\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{24}x^4 + \text{o}(x^4)\right)-2}=\lim_{x\to0^-} \frac{x^3+\text{o}(x^3)}{\frac{x^4}{12}+\text{o}(x^4)}=$$
$$=-\infty$$
$$\lim_{x\to0^-} \frac{(\arctan x^2)\ln(1+x)}{x^2+2\cos x-2}=\lim_{x\to0^-} \frac{\left(x^2+\text{o}(x^2)\right)\left(x+\text{o}(x)\right)}{x^2+2\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{24}x^4 + \text{o}(x^4)\right)-2}=\lim_{x\to0^-} \frac{x^3+\text{o}(x^3)}{\frac{x^4}{12}+\text{o}(x^4)}=$$
$$=-\infty$$
Grazie c'è un motivo per cui al numeratore hai sviluppato fino al primo ordine?
Prego! Perché, essendoci un prodotto, non può esserci nessuna cancellazione e quindi non ha senso sviluppare oltre.
Grazie, avevo intuito bene, ho postato un altro limite, se mi aiutassi te ne sarei molto grato
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