Limite con Taylor

[galles90]

Buongiorno
Il risultato del seguente limite è $(e)/(6)$

Calcolare il seguente limite
$lim_{x to 0}((1 + x)^((2 + x) / (2x)) - e) / (ln(1 + x) + sin^2(x) - x)$

Lo risolvo cosi, individuatemi il passaggio in cui sbaglio.

Posto
$N=((1 + x)^((2 + x) / (2x)) - e)=(e^((2 + x) / (2x))ln(1+x)-e)=e^((ln(1+x)^(1/x)+ln(sqrt(1+x))))-e$.

A $ln(1+y)=x-y^2/2+o(y^3)$.
B $sqrt(1+x)=1+x/2-(x^2)/(8)+o(x^3)$.

1. $ln(1+x)^(1/x)=ln(e^((1/x)ln(1+x)))=ln(1+x)/x; to g(x)=(1-x/2+o(x^2))$.

2. $ln(sqrt(1+x))=ln((1+x/2-(x^2)/(8)+o(x^3))$

per A
$ln((1+x/2-(x^2)/(8)+o(x^3)))=x/2-(x^2)/(8)+o(x^3)+(x/2-(x^2)/(8)+o(x^3))^2/(2)+o((x/2-(x^2)/(8)+o(x^3))^2)=x/2-(x^2)/(4)+o(x^3)$

allora risulta

$e^((ln(1+x)^(1/x)+ln(sqrt(1+x))))=e^(1-(x^2)/(4)+o(x^2))$

quindi

$e^(1-(x^2)/(4)+o(x^2))=e(e^((-x^2)/(4)+o(x^2))-1)$

sviluppo della funzione esponziale in 0 di ordine 2

$e^y=1+y+(y^2)/(2)+o(y^2)$.

$e^((-x^2)/(4)+o(x^2))=1+(-x^2)/(4)+o(x^2)+((-x^2)/(4)+o(x^2))^2/(2)+o((-x^2)/(4)+o(x^2))^2=1-(x^2)/(4)+o(x^2)$

$e(e^((-x^2)/(4)+o(x^2))-1)=-(ex^2)/(4)+o(x^2)=N$.


$D=(ln(1 + x) + sin^2(x) - x)$.

$sinx=(x+o(x^2))$ $to$ $sin^2(x)=(x^2+o(x^2))$.

$D=(x-(x^2)/(2)+x^2-x+o(x^2)=(x^2)/(2)+o(x^2))$.

allora
$lim _(x to 0)(N)/(D)=lim _(x to 0) ((-(ex^2)/(4)+o(x^2))/((x^2)/(2)+o(x^2)))=(-e)/(2)$

[Brancaleone1]

"galles90":
$N=((1 + x)^((2 + x) / (2x)) - e)=(e^((2 + x) / (2x))ln(1+x)-e)$

Questo passaggio è sbagliato - non è vero che $\color{red}{f(x)^(g(x)) = e^(g(x)) ln(f(x))}$.

[galles90]

Ciao Brancaleone, grazie per la risposta.

Si la relazione che mi hai fatto notare è sbagliata, errore di battitura, invece la forma corretta è $f(x)^g(x)=e^(g(x)lnf(x))$.
Voglio precisare che nella risoluzione che ho fatto prima di aprire questo topic, ho utilizzato la forma corretta dell'espressione, il risultato a finale è lo stesso.

Come detto
$(1+x)^((2+x)/(2x))-e=e^(((2+x)/(2x))ln(1+x))-e$

in particolare:
$((2+x)/(2x))ln(1+x)=(1/x+1/2)ln(1+x)=1/xln(1+x)+1/2ln(1+x)=ln(1+x)^((1)/(x))+ln(sqrt(1+x))$

Ora $ln(1+x)^((1)/(x))=lne^(1/xln(1+x))=(ln(1+x))/(x)$

Quindi per la A e la B del messaggio precedente, ottengo:

$(ln(1+x))/(x)=(x-(x^2)/(2)+o(x^3))/(x)=(1-(x)/(2)+o(x^2))$
$ln(sqrt(1+x))=(x/2-x^2/4+o(x^2))$

allora

$e^(((2+x)/(2x))ln(1+x))-e=e^(ln(1+x)^((1)/(x))+ln(sqrt(1+x)))-e=e^((1-(x)/(2)+o(x^2))+(x/2-x^2/4+o(x^2)))-e=e^(1-x^2/4+o(x^2))-e=e(e^(-x^2/4+o(x^2))-1)$

Per lo sviluppo della funzione esponenziale di centro 0 di ordine 2, del messaggio precedente:
$e(e^(-x^2/4+o(x^2))-1)=(-ex^2)/(4)+o(x^2)$

Penso che sia in questi passaggi che ho fatto al numeratore.

Ciao

[galles90]

Buongiorno,
l'errore sta nello sviluppo della funzione $ln(1+x)$ mi sono arrestato ad un ordine inferiore, ovvero la funzione $ln(1+x)$ deve essere sviluppata fino all'ordine 3, cioè
$ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$ $ to $ $(ln(1+x))/(x)=1-x/2+x^2/3+o(x^2)$
il restante rimane invariato.

In sintessi al numeratore abbiamo:
$N= e^(1+x^2/12+o(x^2))-e=e(e^(x^2/12+o(x^2))-1)=e/12x^2+o(x^2).$
Il denominatore rimane uguale,quindi abbiamo il seguente limite:
$lim_(x to 0)((1+x)^((2+x)/(2x))-e)/(ln(1+x)+sen^2x-x)=lim_(x to 0) (e/12x^2+o(x^2))/(x^2/2+o(x^2))=(e/12)/(1/2)=e/6$