Limite con Taylor

[VALE014]

Buongiorno ragazzi:) ho questo limite con Taylor che non so finire (sperando che ho sviluppato bene ). $ lim_(x -> 0) [[[(5^(1+tg^2x) -5))(1+sen^5x)]/((1-cosx))] $ . per Taylor ragiono così, sviluppo singolarmente ogni termine in modo che a "occhio" posso vedermi dove fermarmi, o meglio finche' non trovo un termine che non si annulla. per cui ho trovato che : $cosx =1-x^2/x o(x^2)$ $tg^2x= x^2o(x^2)$ il seno l'ho sviluppato con un notevole per cui ho $1+x^5$ ritornando al mio limite ho:
$ lim_(x -> 0) [(5^(1+x^2)-5 +o(x^2))(1+x^5)]/(x^2/2+o(x^2) $ arrivata qui non so continuare ho provato a mettere in evidenza un 5 ma non ottengo nulla. Grazie in anticipo

[anonymous_0b37e9]

Presumo che il limite sia:

$lim_(x->0)[((5^(1+tg^2x)-5)(1+sen^5x))/(1-cosx)]$

Meglio prima chiarire.

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

Se il limite proposto è quello chiarito da Sergeant Elias, per risolverlo non c'è neanche bisogno di usare gli sviluppi in serie, bastano i limiti notevoli:

$ lim_{x \to 0}[((5^(1+tan^2 x)-5)(1+sin^5x))/(1-cosx)] = 5 \cdot lim_{x \to 0}[((5^(tan^2 x)-1)(1+sin^5x))/(1-cosx)] = $
$ = 5 \cdot lim_{x \to 0} frac{5^(tan^2 x)-1}{tan^2 x} \cdot frac{tan^2 x}{x^2} \cdot frac{x^2}{1 - cos x} \cdot (1+sin^5x) = $
$ = 5 \cdot lim_{x \to 0} frac{5^(tan^2 x)-1}{tan^2 x} \cdot lim_{x \to 0} frac{tan^2 x}{x^2} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{frac{1 - cos x}{x^2}} \cdot lim_{x \to 0} (1+sin^5x) = $
$ = 5 \cdot ln(5) \cdot 1 cdot frac{1}{1/2} \cdot 1 = 10 ln(5) $

[VALE014]

ok grazie ho usato Taylor perchè lo imponeva la consegna