Limite con Taylor ?

[vincenzoj]

lim ( per x che tende a 0 ) [cos(x²)-e^(x²/2)cosx]/[(cosx-1)²]

Ho risolto questo limite con Taylor, tuttavia a me esce -1 invece che - 5/3.

Io ho applicato questi sviluppi :
cos(x²)= 1- (x^4)/2
e^(x²/2)= 1+x²/2
cosx=1-x²/2
cos²x=1 - x² + x^4/3

e poi ho sostituito, ma non mi esce.

[mic999]

anche a me viene $-1$...

[vincenzoj]

L'esercizio è preso da una scheda d'esame e come possibili risultati propone :
1. -4/3
2. -7/3
3. 0
4. -5/3

Comunque l'importante è che il procedimento è corretto.

Mentre questo limite di successione come lo risolvo ?
lim ( per n che tende a +inf ) (n+1)![(1+1/n!)^(1/n)-1]

[mauri54]

"simonerusso64":lim ( per x che tende a 0 ) [cos(x²)-e^(x²/2)cosx]/[(cosx-1)²]

Ho risolto questo limite con Taylor, tuttavia a me esce -1 invece che - 5/3.

Io ho applicato questi sviluppi :
cos(x²)= 1- (x^4)/2
e^(x²/2)= 1+x²/2
cosx=1-x²/2
cos²x=1 - x² + x^4/3

e poi ho sostituito, ma non mi esce.

Non ti esce perché hai dimenticato dei pezzi dello sviluppo di Taylor utili alla buona riuscita del limite.
\( \cos{x}= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) \)
\( \cos{x²}= 1-\frac{x^4}{2} +o(x^4)\)
\( e^{\frac{x²}{2}}= 1+\frac{x²}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4) \)
\( \cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \)

Allora
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos{x^2}-e^{\frac{x^2}{2}}\cos{x}}{(\cos{x}-1)^2}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\frac{x^4}{2}-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})(1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})+o(x^4)}{(-\frac{x^2}{2}+o(x^2))^2}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{x^4}{2}-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)}{\frac{x^4}{4}+o(x^4)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{5x^4}{12}}{\frac{x^4}{4}}=-\frac{5}{3} \)

Nel secondo uguale ho inglobato nell'o-piccolo del numeratore tutti gli addendi infinitesimi di ordine superiore a 4 che vengono fuori dal prodotto delle due parentesi. Idem per il denominatore.