Limite con taylor
$\lim_{x \to \0} (ln(1+x)(1+sin(2x))-x)/(x^2+2x^5)$
Salve,
Il risultato di questo limite con Taylor è $3/2$
A me però
a denominatore viene $x^2$
a numeratore arrivo a questo punto e mi esce fuori un $-x^3$ che mi rovina tutto... come lo elimino?
$(x-x^2/2+o(x^2))(1+2x+o(x^2))-x$
Ho provato a fermarmi prima negli sviluppi dei polinomi ma non mi tornano i conti
Salve,
Il risultato di questo limite con Taylor è $3/2$
A me però
a denominatore viene $x^2$
a numeratore arrivo a questo punto e mi esce fuori un $-x^3$ che mi rovina tutto... come lo elimino?
$(x-x^2/2+o(x^2))(1+2x+o(x^2))-x$
Ho provato a fermarmi prima negli sviluppi dei polinomi ma non mi tornano i conti
Risposte
Ciao zaza390,
Onestamente, non vedo il problema... Trascurando tutti gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1+x)(1+sin(2x))-x)/(x^2+2x^5) = lim_{x \to 0} frac{(x-x^2/2)(1 + 2x) - x}{x^2(1 + 2x^3)} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{x + 2x^2 - x^2/2 - x^3 - x}{x^2(1 + 2x^3)} = lim_{x \to 0} frac{frac{3}{2}x^2 - x^3}{x^2(1 + 2x^3)} = lim_{x \to 0} frac{frac{3}{2} - x}{1 + 2x^3} = 3/2 $
Onestamente, non vedo il problema... Trascurando tutti gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1+x)(1+sin(2x))-x)/(x^2+2x^5) = lim_{x \to 0} frac{(x-x^2/2)(1 + 2x) - x}{x^2(1 + 2x^3)} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{x + 2x^2 - x^2/2 - x^3 - x}{x^2(1 + 2x^3)} = lim_{x \to 0} frac{frac{3}{2}x^2 - x^3}{x^2(1 + 2x^3)} = lim_{x \to 0} frac{frac{3}{2} - x}{1 + 2x^3} = 3/2 $
grazie per la risposta pilloeffe, (non ci avevo pensato di sostituire sin(2x) con 2x)
il prof a lezione mi ha spiegato un metodo leggermente diverso in cui mi porto dietro gli o piccoli (credo voglia che usi questo metodo all'esame)
mi sarebbe piaciuto capire dove sbaglio nell'applicazione
riporto la soluzione del compito scritta dal prof
denominatore
$(x^2+2x^5) ~ x^2$
numeratore
$ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
$sin(2x)=2x+o(x^2)$
$ln(1+x)(1+sin(2x))-x=(x-x^2/2+o(x^2))(1+2x+o(x^2))-x=x+2x^2-x^2/2+o(x^2)-x$
(quest'ultima moltiplicazione in cui sparisce $-x^3$ non la capisco proprio)
limite
$\lim_{x \to \0} (ln(1+x)(1+sin(2x))-x)/(x^2+2x^5) = \lim_{x \to \0} (3/2x^2)/(x^2)=3/2$
forse andrò a ricevimento
il prof a lezione mi ha spiegato un metodo leggermente diverso in cui mi porto dietro gli o piccoli (credo voglia che usi questo metodo all'esame)
mi sarebbe piaciuto capire dove sbaglio nell'applicazione
riporto la soluzione del compito scritta dal prof
denominatore
$(x^2+2x^5) ~ x^2$
numeratore
$ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
$sin(2x)=2x+o(x^2)$
$ln(1+x)(1+sin(2x))-x=(x-x^2/2+o(x^2))(1+2x+o(x^2))-x=x+2x^2-x^2/2+o(x^2)-x$
(quest'ultima moltiplicazione in cui sparisce $-x^3$ non la capisco proprio)
limite
$\lim_{x \to \0} (ln(1+x)(1+sin(2x))-x)/(x^2+2x^5) = \lim_{x \to \0} (3/2x^2)/(x^2)=3/2$
forse andrò a ricevimento
"zaza390":
quest'ultima moltiplicazione in cui sparisce $−x^3 $ non la capisco proprio
Beh, non è che proprio sparisce, resta inglobata nell'$o$: praticamente sta trascurando tutti i termini in $x$ di grado $\ge 3 $ sia a numeratore che a denominatore. La mia soluzione però è più elegante...
"pilloeffe":
[quote="zaza390"]quest'ultima moltiplicazione in cui sparisce $−x^3 $ non la capisco proprio
Beh, non è che proprio sparisce, resta inglobata nell'$o$: praticamente sta trascurando tutti i termini in $x$ di grado $\ge 3 $ sia a numeratore che a denominatore. La mia soluzione però è più elegante...
[/quote]Grazie 1000 ora ho capito!!!
Avevo cercato (senza riuscirci) di alterare gli sviluppi dei polinomi in modo tale che non uscisse un termine di grado superiore al 2 nella moltiplicazione finale... (per avere grado uguale al denominatore)
(Il prof ha fatto una cosa simile in un altro esercizio)
Non pensavo potessi essere così brutale e semplicemente risucchiarlo nell'o
Il tuo metodo mi piace ma per sicurezza seguo i metodi del prof per l'esame...
Grazie ancora...
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