Limite con taylor
Buonasera a tutti,
Ho un problema con questo limite:
$ lim_(x -> 0^+) (x*sinx+ root()(x^5))/(e^x*cossqrt(2x)-cosx) $ .
Così vedendola io avrei subito fatto Taylor ma poi mi sono accorti che il termine $ sqrt(x^5) $ non è scomponibile con taylor.
Come posso risolverlo, perché con la regola di hopital non è consigliabile e non è riconducibile a limiti noti.
Grazie per chi mi suggerisce una strada.
Ho un problema con questo limite:
$ lim_(x -> 0^+) (x*sinx+ root()(x^5))/(e^x*cossqrt(2x)-cosx) $ .
Così vedendola io avrei subito fatto Taylor ma poi mi sono accorti che il termine $ sqrt(x^5) $ non è scomponibile con taylor.
Come posso risolverlo, perché con la regola di hopital non è consigliabile e non è riconducibile a limiti noti.
Grazie per chi mi suggerisce una strada.
Risposte
Ciao Dot.who.
Per sbarazzarti un po' delle radici potresti provare a porre $x := t^2 $ ed usare Taylor solo successivamente...
Per sbarazzarti un po' delle radici potresti provare a porre $x := t^2 $ ed usare Taylor solo successivamente...
\(\sqrt{x^5}=x^{5/2}\)
Seguendo il tuo ragionamento dovrei sostituire: $ sqrt(x) =t $ e $x=t^2$.
Così facendo risulterebbe:
$ (t^2*sint^2+t^5)/(e^(t^2)*cossqrt(2t^2)-cost^2 $
Sviluppandola con Taylor diventa:
$ (t^2(t^2-t^6/6)+t^5)/((1+t^2)(1-t^2)-(1-t^4/2) $
Tuttavia arrivo ad un punto nel quale, anche eliminando i termini con gradi massimi, gli altri non si eliminano e quindi nonnriesco a procedere.
Così facendo risulterebbe:
$ (t^2*sint^2+t^5)/(e^(t^2)*cossqrt(2t^2)-cost^2 $
Sviluppandola con Taylor diventa:
$ (t^2(t^2-t^6/6)+t^5)/((1+t^2)(1-t^2)-(1-t^4/2) $
Tuttavia arrivo ad un punto nel quale, anche eliminando i termini con gradi massimi, gli altri non si eliminano e quindi nonnriesco a procedere.
Hai dimenticato gli o piccolo. Comunque, anche se non si eliminano tutti i termini, puoi comunque usare altre tecniche, come la gerarchia degli infinitesimi, per capire dove va sto limite: alla fine, si tratta di una funzione razionale polinomiale...
Posto $x := t^2 $, si ha:
$ lim_{x \to 0^+} (x sin x + sqrt{x^5})/(e^{x} cos(sqrt{2x})-cosx) = lim_{t \to 0^+} (t^2 sin t^2 + t^5)/(e^{t^2} cos(sqrt{2}t)-cos t^2) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^2 (t^2 - t^6/6) + t^5)/((1 + t^2 + t^4/2)(1 - t^2 + t^4/6) - (1 - t^4/2)) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^4 + t^5 - t^8/6)/(1 - t^2 + t^4/6 + t^2 - t^4 + t^6/6 + t^4/2 - t^6/2 + t^8/12 - 1 + t^4/2) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^4 + t^5 - t^8/6)/(t^4/6 + t^6/6 - t^6/2 + t^8/12) = 6 $
trascurando tutti gli $o$ ed i termini in $t$ di grado maggiore od uguale a $5$.
$ lim_{x \to 0^+} (x sin x + sqrt{x^5})/(e^{x} cos(sqrt{2x})-cosx) = lim_{t \to 0^+} (t^2 sin t^2 + t^5)/(e^{t^2} cos(sqrt{2}t)-cos t^2) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^2 (t^2 - t^6/6) + t^5)/((1 + t^2 + t^4/2)(1 - t^2 + t^4/6) - (1 - t^4/2)) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^4 + t^5 - t^8/6)/(1 - t^2 + t^4/6 + t^2 - t^4 + t^6/6 + t^4/2 - t^6/2 + t^8/12 - 1 + t^4/2) = $
$ = lim_{t \to 0^+} (t^4 + t^5 - t^8/6)/(t^4/6 + t^6/6 - t^6/2 + t^8/12) = 6 $
trascurando tutti gli $o$ ed i termini in $t$ di grado maggiore od uguale a $5$.
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