Limite con Taylor

[Magma1]

Salve ho un dubbio nello svolgimento di questo limite: il problema che non capisco bene fino a che grado sviluppare...

$lim_(x->o) (e^x-cosx-sinx)/(e^(x^2)-e^(x^3))$

$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/6+o[x^6]$

$-e^(x^3)=-1-x^3-x^6/2+o[x^6]$

$(e^(x^2)-e^(x^3))~-1/3x^6$

$e^x=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!)+x^5/(5!)+x^6/(6!)+o[x^6]$

$-cosx=-1+x^2/2-x^4/(4!)+x^6/(6!)+o[x^6]$

$-sinx=-x+x^3/(3!)-x^5/(5!)+o[x^6]$

$(e^x-cosx-sinx)~2/(6!) x^6$

Quindi mi verrebbe $lim_(x->0)(2/(6!)x^6)/(-1/3x^6)$, solo che il risultato dovrebbe essere $1$, allora ho pensato di ferma al secondo grado:

$e^(x^2)=1+x^2+o[x^2]$

$-e^(x^3)=-1+o[x^2]$

$(e^(x^2)-e^(x^3))~x^2$

$e^x=1+x+x^2/2+o[x^2]$

$-cosx=-1+x^2/2+o[x^2]$

$-sinx=-x++o[x^2]$

$(e^x-cosx-sinx)~ x^2$

E questo tentativo è stato fortunato (almeno spero di non aver sbagliato i calcoli ): infatti $lim_(x->0) x^2/x^2=1$


È giusto questo secondo tentativo? Come è possibile capire che la risoluzione del limite tramite Taylor è errata oppure giusta? Cioè, se non sapessi a priori il risultato del limite, come potrei stabilire quale sia il giusto risultato del limite?

[@melia]

La $x$ tende a $0$, quindi devi prendere la potenza più bassa che ti rimane, le altre sono infinitesimi trascurabili.

[Magma1]

"@melia":La $x$ tende a $0$, quindi devi prendere la potenza più bassa che ti rimane, le altre sono infinitesimi trascurabili.

Ottimo , me lo ero dimenticato Grazie