Limite con Taylor

[Teschio4]

Ciao a tutti, il limite in questione è il seguente:

\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{((tgx)^{arctgx}-1)+ln(1+senx)}{x^{\sqrt{x}}-cos(xlogx)}\]

l'ho presto da un testo d'esame in cui si richiede che sia calcolando usando gli sviluppi di Taylor.
Per prima cosa al numeratore cerco di eliminare arctgx come esponente di tgx ricorrendo a
e^ln(x) a questo punto ho il prodotto arctgx(ln(tgx)). Analogamente faccio per il denominatore. Ma a questo punto mi blocco e non so proseguire. Mi affido al vostro aiuto, tante grazie

[Studente Anonimo]

Magari ti blocchi qui:

$ln(tgx)=ln(x+x^3/3+O(x^5))=ln(x(1+x^2/3+O(x^4)))=lnx+ln(1+x^2/3+O(x^4))$

[Teschio4]

Esattamente! Non avevo pensato al raccoglimento, grazie 1000

[Studente Anonimo]

Ci siamo passati tutti. Buon proseguimento.

[Teschio4]

Scusami, ho provato a risolverlo seguendo il tuo consiglio, ma mi trovo ancora in difficoltà in quanto mi trovo con lnx che non so sviluppare con taylor...

[Studente Anonimo]

Non è necessario.

[Teschio4]

Potresti mostrarmi qualche passaggio?

[Studente Anonimo]

Intanto:

$ln(tgx)=lnx+ln(1+1/3x^2+O(x^4))=lnx+1/3x^2+O(x^4)$

Quindi:

$tgx^(arctgx)=e^(arctgxln(tgx))=e^((x+O(x^3))(lnx+1/3x^2+O(x^4)))=e^(xlnx+o(xlnx))=1+xlnx+o(xlnx)$

Per quanto riguarda gli altri sviluppi:

$ln(1+senx)=ln(1+x+O(x^3))=x-1/2x^2+O(x^3)$

$x^sqrtx=e^(sqrtxlnx)=1+sqrtxlnx+O(xln^2x)$

$cos(xlnx)=1-1/2x^2ln^2x+O(x^4ln^4x)$

Per esempio, al denominatore:

$1+sqrtxlnx+O(xln^2x)-1+1/2x^2ln^2x+O(x^4ln^4x)=sqrtxlnx+o(sqrtxlnx)$

comanda $sqrtxlnx$. Lascio a te il numeratore.