Limite con taylor

[lucacasalma]

Salve, qualcuno potrebbe mostrarmi come si svolge questo limite? (penso occorra usare taylor) ma a me risulta sempre un 1/0..

$ 1/((e^(4x)-1)sin3x) $

[billyballo2123]

Ammesso che il limite sia per $x\to 0$, $e^{4x}-1~4x$, mentre $\sin 3x~3x$, dunque come asintotico ottieni $\frac{1}{12x^2}$ (e di conseguenza il limite è $+\infty$).

[lucacasalma]

si, tende a 0 scusami, comunque come ci sei arrivato?
a me risulta che, applicando taylor :
$ e^(4x)-1= -1+1+4x+8x^2+o(x^2) $

e
$ sin(3x)= 3x - (27x^3)/ 6 + o(x^3) $

fin qua sei d'accordo?

[cooper1]

lo sviluppo che hai fatto è giusto ma basta che ti fermi al primo ordine infatti $ x^2=o (x) $. dopo di che devi moltiplicare 3x con 4x ottenendo il risultato di $ 1/(12 x^2) $ che tende a $ +oo $

[lucacasalma]

ok, fatto e mi è venuto.
Comunque non capisco perchè $ 1/(12x^2) $ tenda a infinito, alla fine sarebbe $ 1/0 $ che è la situazione che avevo all'inizio dell' esercizio, no?
Poi, ultima cosa, in base a cosa hai capito che sarebbe bastato fermarti a $ o(x^1) $ ?
scusa per le mille domande ma mi piacerebbe davvero capire tutto a fondo!

[cooper1]

Tende a più infinito perché la x è alla seconda e quindi il denominatore e poi tutta la frazione è positiva e quindi il segno è +. Per convincenti dell'infinito invece ti basti pensare a cosa succede quando dividi un numero con un numero molto più piccolo. Il risultato è qualcosa di grande. Bastava il primo ordine xx come ti ho detto prima x^2 è o-piccolo di x. Ciò significa che è trascurabile rispetto a x ovvero che il limite del loro rapporto è uguale a 0. In ogni caso andare avanti a sviluppare ad un ordine maggiore non è sbagliato ma solo inutile. Se anche fossi andato avanti il risultato sarebbe stato lo stesso.

[lucacasalma]

okok, sbagliavo perchè pensavo a $ 1/(12x^2) $ sostituendo brutalmente ottenendo quindi $1/0$