Limite con taylor?

[Fab996]

Calcolare il limite al variare di $a$ $lim(x->0) (ln(x+1))/x^(a)$ a me viene $0$ se $a<2$, $1$ se $a=2$, $irregolare$ se $a>2$.

[francicko]

$lim_(x->0)log(1+x)/x=1$ noto limite notevole, da cui si ricava, sempre per $x->0$ che $(1+x)~x $, sostituendo il tuo limite diventa:$lim_(x->0)x/x^(alpha)=lim_(x->0)x^(1-(alpha))$, prova adesso a discutere i vari casi.

[Fab996]

"francicko":$lim_(x->0)log(1+x)/x=1$ noto limite notevole, da cui si ricava, sempre per $x->0$ che $(1+x)~x $, sostituendo il tuo limite diventa:$lim_(x->0)x/x^(alpha)=lim_(x->0)x^(1-(alpha))$, prova adesso a discutere i vari casi.

L'ho risolto in quest'altro modo, $ln(x+1)=x-(x^(2)/2)+o[x^2]$ per $x->0$
$lim (x->0) (x-(x^(2)/2)+o[x^2])/x^(a)$ raccolgo x $lim (x->0) x((1-(x/2)+o[x])/x^(a-1))$ quindi semplifico e tolgo i termini che vanno a 0 e rimane $lim(x->0) x/(x^(a-1)) => lim (x->0) x^(-a+2)$ e studio i vari casi...

[francicko]

Scusa ma in questo caso lo sviluppo di taylor equivale all'asintotico, cioe' allo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine in $x $, I termini successivi restano ininfluenti $lim_(x->0)log(1+x)/x$ $ =lim_(x->0)(x-x^2/2+o (x^2))/x^(alpha) $ $=limx/x^(alpha) $ in quanto a numeratore $x^2/2$ e' un infinitesimo di ordine superiore ad $x $ pertanto trascurabile , quindi il limite da analizzare e' $lim_(x->0)x/x^(alpha)$ $=lim_(x->0)x^(1-alpha) $, e' l'unico modo.

[Fab996]

"francicko":Scusa ma in questo caso lo sviluppo di taylor equivale all'asintotico, cioe' allo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine in $x $, I termini successivi restano ininfluenti $lim_(x->0)log(1+x)/x$ $ =lim_(x->0)(x-x^2/2+o (x^2))/x^(alpha) $ $=limx/x^(alpha) $ in quanto a numeratore $x^2/2$ e' un infinitesimo di ordine superiore ad $x $ pertanto trascurabile , quindi il limite da analizzare e' $lim_(x->0)x/x^(alpha)$ $=lim_(x->0)x^(1-alpha) $, e' l'unico modo.

Però il mio modo non è giusto, dov'è che sbaglio?

[francicko]

Per $x->0$ e' $(x-x^2/2+o (x^2))~x $, ma anche $(x+o (x))~x $, in quanto in una somma per $x->0$ prevale l'infinitesimo di ordine più piccolo quindi in questo caso $x $ gli altri termini tendono a $0$ piu velocemente pertanto sono trascurabili;
Non ho capito sinceramente qua

"Fab996":

L'ho risolto in quest'altro modo, $ ln(x+1)=x-(x^(2)/2)+o[x^2] $ per $ x->0 $
$ lim (x->0) (x-(x^(2)/2)+o[x^2])/x^(a) $ raccolgo x $ lim (x->0) x((1-(x/2)+o[x])/x^(a-1)) $ quindi semplifico e tolgo i termini che vanno a 0 e rimane $ lim(x->0) x/(x^(a-1)) => lim (x->0) x^(-a+2) $ e studio i vari casi...

[Fab996]

"francicko":Per $x->0$ e' $(x-x^2/2+o (x^2))~x $, ma anche $(x+o (x))~x $, in quanto in una somma per $x->0$ prevale l'infinitesimo di ordine più piccolo quindi in questo caso $x $ gli altri termini tendono a $0$ piu velocemente pertanto sono trascurabili;
Non ho capito sinceramente qua[quote="Fab996"]

L'ho risolto in quest'altro modo, $ ln(x+1)=x-(x^(2)/2)+o[x^2] $ per $ x->0 $
$ lim (x->0) (x-(x^(2)/2)+o[x^2])/x^(a) $ raccolgo x $ lim (x->0) x((1-(x/2)+o[x])/x^(a-1)) $ quindi semplifico e tolgo i termini che vanno a 0 e rimane $ lim(x->0) x/(x^(a-1)) => lim (x->0) x^(-a+2) $ e studio i vari casi...

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Varrebbe quelle regola di prendere l'o piccolo con esponente più piccolo se fosse stato $o(x-x^2/2+o (x^2))$..

[francicko]

Con $o(x) $ si intendono tutti quei infinitesimi di ordine superiore ad $x $ cioe che tendono più velocemente a zero rispetto ad $x $, nel nostro caso lo sviluppo in serie di $log (1+x)$ e' $log (1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+..... $, che si può scrivere usando gli o- piccolo più brevemente come $log (1+x)=x+o (x) $, o volendo prendere in considerazione anche il termine successivo ad $x $ , $log (1+x)=x-x^2/2+o (x^2) $, se consideriamo ancora il termine seguente possiamo scrivere $log (1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o (x^3) $,
ecc. ecc.,almeno così ho sempre interpretato io la questione;
Per cui il limite da studiare e'$lim_(x->0)x/x^(alpha) $;