Limite con Taylor
salve a tutti ragazzi ho un problema con questo limite perchè io mi trovo -1/6 quando il suo valore è compreso tra -0.6 e -0.8 (verificato con geogebra):
$ lim_(x -> 0) ((1+sin ^2x)^(1/x)-e(sin x))/x^3 $
$ lim_(x -> 0) ((1+sin ^2x)^(1/x)-e(sin x))/x^3 $
Risposte
Secondo me il limite dovrebbe essere
$\lim_{x\to 0}\frac{(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{x}}- e^{\sin(x)}}{x^3}$
Ad ogni modo puoi utilizzare l'identità:
$f(x)^{g(x)}= e^{g(x)\ln(f(x))}\mbox{ con }f(x)>0$
Sviluppa tutte le funzioni in gioco fino al terzo ordine ed è fatta, il limite dovrebbe venire $-\frac{2}{3}$
$\lim_{x\to 0}\frac{(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{x}}- e^{\sin(x)}}{x^3}$
Ad ogni modo puoi utilizzare l'identità:
$f(x)^{g(x)}= e^{g(x)\ln(f(x))}\mbox{ con }f(x)>0$
Sviluppa tutte le funzioni in gioco fino al terzo ordine ed è fatta, il limite dovrebbe venire $-\frac{2}{3}$
ho già pensat ad una soluzione simile tuttavia mi trovo agli ultimi passaggi un quadrato del seno di x dunque si considera §x^2§ e il doppio prodotto tra §x^2§ e §-x^3/3§ tutto fratto x riducendo gli esponenti di uno: le x con esponente uno si semplificano e restano §(-x^3/3 + x^3/6)/x^3§ (con gli opportuni o piccoli a numeratore) che da come risultato -1/6
Perdi qualcosa per strada.
Procediamo con ordine, riscrivendo
$(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{x}}= e^{\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2(x))}$
Sviluppiamo tutte le funzioni in gioco di modo che l'intero numeratore sia ordine almeno 3 (ce lo suggerisce $x^3$)
Ricorda gli sviluppi notevoli:
$\sin(x)= x- \frac{x^3}{6}+o(x^4)\implies \sin^2(x)=(x-\frac{x^3}{6})^2+o(x^4)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$
$\ln(1+x)= x- \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$
Pertanto
$\ln(1+\sin^2(x))= (x^2-\frac{x^4}{3})- \frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^2}{2}+\frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^3}{3}-\frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^4}{4}+o(x^4)$
Con calma, sviluppi le potenze trascurando quelle che sono di ordine superiore a 4.
$\ln(1+\sin^2(x))=x^2-\frac{5}{6}x^4+o(x^4)$
Pertanto dividendo per x:
$\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}=x-\frac{5}{6}x^3+ o(x^3)$
Ora interviene lo sviluppo dell'esponenziale
$e^{x}= 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
$e^{\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}}=1+ (x-\frac{5}{6}x^3)+\frac{(x-\frac{5}{6}x^3)^2}{2}+\frac{(x-\frac{5}{6}x^3)^3}{6}+o(x^3)$
Sviluppa a questo punto tutte le potenze trascurando tutti i monomi che hanno grado superiore a 3. Otterrai qualcosa del tipo:
$e^{\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}}=1+x+x^2/2-2 x^3/3+o(x^3)$
Questo era il termine difficile da sviluppare. Non ti rimane altro che sviluppare il termine $e^{\sin(x)}$ e portare a casa l'esercizio.
Procediamo con ordine, riscrivendo
$(1+\sin^2(x))^{\frac{1}{x}}= e^{\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2(x))}$
Sviluppiamo tutte le funzioni in gioco di modo che l'intero numeratore sia ordine almeno 3 (ce lo suggerisce $x^3$)
Ricorda gli sviluppi notevoli:
$\sin(x)= x- \frac{x^3}{6}+o(x^4)\implies \sin^2(x)=(x-\frac{x^3}{6})^2+o(x^4)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$
$\ln(1+x)= x- \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$
Pertanto
$\ln(1+\sin^2(x))= (x^2-\frac{x^4}{3})- \frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^2}{2}+\frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^3}{3}-\frac{(x^2-\frac{x^4}{3})^4}{4}+o(x^4)$
Con calma, sviluppi le potenze trascurando quelle che sono di ordine superiore a 4.
$\ln(1+\sin^2(x))=x^2-\frac{5}{6}x^4+o(x^4)$
Pertanto dividendo per x:
$\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}=x-\frac{5}{6}x^3+ o(x^3)$
Ora interviene lo sviluppo dell'esponenziale
$e^{x}= 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
$e^{\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}}=1+ (x-\frac{5}{6}x^3)+\frac{(x-\frac{5}{6}x^3)^2}{2}+\frac{(x-\frac{5}{6}x^3)^3}{6}+o(x^3)$
Sviluppa a questo punto tutte le potenze trascurando tutti i monomi che hanno grado superiore a 3. Otterrai qualcosa del tipo:
$e^{\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x}}=1+x+x^2/2-2 x^3/3+o(x^3)$
Questo era il termine difficile da sviluppare. Non ti rimane altro che sviluppare il termine $e^{\sin(x)}$ e portare a casa l'esercizio.
grazie infinite, mi trovo *___* commettevo errori di non completo sviluppo per pigrizia :/
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