Limite con Taylor
Salve a tutti, mi è capitato di risolvere un limite tramire Taylor, solo che non so se il procedimento è giusto, visto che ho dei problemi con gli o(piccoli).
ho $ lim_(x -> 0) ((sqrt(1+tg(x^2))-1-1/2sin(x^2))(ln(1+x)-x))/ (e^(sin(x^6)) -1) $
EDIT:
avevo sbagliato a ricopiare il testo
potreste darmi una mano nel risolverlo?
grazie!
ho $ lim_(x -> 0) ((sqrt(1+tg(x^2))-1-1/2sin(x^2))(ln(1+x)-x))/ (e^(sin(x^6)) -1) $
EDIT:
avevo sbagliato a ricopiare il testo
potreste darmi una mano nel risolverlo?
grazie!
Risposte
pensa che a me non sembra nemmeno una forma indeterminata
magari metti $senx^6$ al denominatore
magari metti $senx^6$ al denominatore
al denominatore c'è anche un -1!! ho sbagliato tutto (testo corretto)!!
dopo lo rifaccio, intanto potreste dirmi se puo rimanere un o(piccolo) che moltiplica una parentesi?? ora che il limite è diverso, credo di no, grazie
dopo lo rifaccio, intanto potreste dirmi se puo rimanere un o(piccolo) che moltiplica una parentesi?? ora che il limite è diverso, credo di no, grazie
Eccomi, ho fatto il limite e mi torna 1/16(sareste così gentili da guardare se il risultato è giusto?). Io vorrei capire però come scegliere fino a che o(piccolo) arrivare; la mia professore ha detto che lo scegliamo non a caso ma quasi, per tentativi. Esiste un modo preciso??
Il risultato che hai ottenuto credo sia corretto, ho controllato con wolfram.
La prima cosa da osservare è che a denominatore il termine $e^(x^6)-1$ è asintotico ad $x^6$, , non vengono coinvolti termini successivi al $1°$, pertanto possiamo sostituire tranquillamente ad $e^(x^6)-1$ il termine $x^6$;
pertanto possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0) ((root(2)(1+tg(x^2))-1-sin(x^2)/2)(ln(1+x)-x))/(x^6)$.
A numeratore invece bisogna necessariamente sviluppare in serie di taylor le funzioni $root(2)(1+tg(x^2))=1+x^2/2-x^4/8+o(x^6)$, la funzione $(sin(x^2))/2=x^2/2-o(x^6)$, e la funzione $log(1+x)-x=-x^2/2+o(x^3)$.
sostituendo opportunamente in modo da trascurare gli infinitesimi di grado superiore ad $o(x^6)$ che si otterrebbero dal prodotto a numeratore , avremo $lim_(x->0)((x^2/2-x^4/8-(x^2/2))(-x^2/2))/x^6=lim_(x->0)((-x^4/8)(-x^2/2))/x^6=(x^6/16)/x^6=1/16$.
Spero che la mia spiegazione sia esatta, diversamente spero che qualcuno mi corregga.
Saluti!
La prima cosa da osservare è che a denominatore il termine $e^(x^6)-1$ è asintotico ad $x^6$, , non vengono coinvolti termini successivi al $1°$, pertanto possiamo sostituire tranquillamente ad $e^(x^6)-1$ il termine $x^6$;
pertanto possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0) ((root(2)(1+tg(x^2))-1-sin(x^2)/2)(ln(1+x)-x))/(x^6)$.
A numeratore invece bisogna necessariamente sviluppare in serie di taylor le funzioni $root(2)(1+tg(x^2))=1+x^2/2-x^4/8+o(x^6)$, la funzione $(sin(x^2))/2=x^2/2-o(x^6)$, e la funzione $log(1+x)-x=-x^2/2+o(x^3)$.
sostituendo opportunamente in modo da trascurare gli infinitesimi di grado superiore ad $o(x^6)$ che si otterrebbero dal prodotto a numeratore , avremo $lim_(x->0)((x^2/2-x^4/8-(x^2/2))(-x^2/2))/x^6=lim_(x->0)((-x^4/8)(-x^2/2))/x^6=(x^6/16)/x^6=1/16$.
Spero che la mia spiegazione sia esatta, diversamente spero che qualcuno mi corregga.
Saluti!
"mrOrange":
Eccomi, ho fatto il limite e mi torna 1/16(sareste così gentili da guardare se il risultato è giusto?). Io vorrei capire però come scegliere fino a che o(piccolo) arrivare; la mia professore ha detto che lo scegliamo non a caso ma quasi, per tentativi. Esiste un modo preciso??
Prova a svolgere il seguente limite $lim_(x->0)((root(2)(1+tg(x^2))-1)(ln(1+x)-x))/x^6$, vedrai che già la situazione cambia radicalmente ed il limite non è più un numero finito, ma tenderà a $-infty$, se non erro.
Saluti!
"francicko":
Il risultato che hai ottenuto credo sia corretto, ho controllato con wolfram.
La prima cosa da osservare è che a denominatore il termine $e^(x^6)-1$ è asintotico ad $x^6$, , non vengono coinvolti termini successivi al $1°$, pertanto possiamo sostituire tranquillamente ad $e^(x^6)-1$ il termine $x^6$
Visto che li hai tirati fuori chiedo: come faccio a capire che é asintotico? Noi li abbiamo appena accennati, non ci ragiono molto bene sopra.
OK, il limite
Provo a risponderti spero in modo chiaro e corretto.
Il vantaggio dell'asintotico è che lo si può ottenere senza ricorrere allo sviluppo di taylor, anche se equivale allo sviluppo di taylor arrestato al $1°$ ordine;
Nel limite che hai proposto , osserviamo che $lim_(x->0)(sin(x^6))/x^6=1$, da cui deduciamo che possiamo sostituire il termine asintotico $x^6$, ad $sin(x^6)$; inoltre osservando che $lim_(x->0)(1+x^6)^(1/x^6)=e$, sostituendo nell'espressione $e^(x^6)-1$ avremo $lim_(x->0)(e^(x^6)-1)=lim_(x->0)((1+x^6)^(1/x^6))^(x^6)-1=lim_(x->0)(1+x^6-1)=lim_(x->0)x^6$, quindi $x^6$ che è l'asintotico;
Concludendo nell'intorno $x=0$ ad $sin(x^6)$ posso sostituire l'asintotico $x^6$, ottenendo $e^(x^6)-1$ a cui posso successivamente sostituire sempre l'asintotico $x^6$.
Il vantaggio dell'asintotico è che lo si può ottenere senza ricorrere allo sviluppo di taylor, anche se equivale allo sviluppo di taylor arrestato al $1°$ ordine;
Nel limite che hai proposto , osserviamo che $lim_(x->0)(sin(x^6))/x^6=1$, da cui deduciamo che possiamo sostituire il termine asintotico $x^6$, ad $sin(x^6)$; inoltre osservando che $lim_(x->0)(1+x^6)^(1/x^6)=e$, sostituendo nell'espressione $e^(x^6)-1$ avremo $lim_(x->0)(e^(x^6)-1)=lim_(x->0)((1+x^6)^(1/x^6))^(x^6)-1=lim_(x->0)(1+x^6-1)=lim_(x->0)x^6$, quindi $x^6$ che è l'asintotico;
Concludendo nell'intorno $x=0$ ad $sin(x^6)$ posso sostituire l'asintotico $x^6$, ottenendo $e^(x^6)-1$ a cui posso successivamente sostituire sempre l'asintotico $x^6$.
Buongiorno e grazie della risposta:
mi è tutto chiaro, al livello di calcoli, solo io non sarei stato in grado di osservare:
Cosa dovrei cercare per studiare un po' questo argomento degli asintotici?
mi è tutto chiaro, al livello di calcoli, solo io non sarei stato in grado di osservare:
"francicko":.
inoltre osservando che $lim_(x->0)(1+x^6)^(1/x^6)=e$, sostituendo nell'espressione $e^(x^6)-1$ avremo $lim_(x->0)(e^(x^6)-1) $
Cosa dovrei cercare per studiare un po' questo argomento degli asintotici?
Buongiorno e grazie della risposta:
mi è tutto chiaro, al livello di calcoli, solo io non sarei stato in grado di osservare:
Cosa dovrei cercare per studiare un po' questo argomento degli asintotici? grazie mille ancora.
mi è tutto chiaro, al livello di calcoli, solo io non sarei stato in grado di osservare:
"francicko":.
inoltre osservando che $lim_(x->0)(1+x^6)^(1/x^6)=e$, sostituendo nell'espressione $e^(x^6)-1$ avremo $lim_(x->0)(e^(x^6)-1)=lim_(x->0)((1+x^6)^(1/x^6))^(x^6)-1 $
Cosa dovrei cercare per studiare un po' questo argomento degli asintotici? grazie mille ancora.
L'argomento degli asintotici e strettamente correlato ai limiti notevoli, in quanto questi ultimi si svolgono grazie proprio agli asintotici, comunque credo che in questo forum. puoi già trovare dell' ottimo materiale e dispense in cui l'argomento venga trattato in modo chiaro ed esaudiente, sicuramente qualcuno più esperto di me , che frequenta questo forum, può darti delle indicazioni più precise a riguardo!
Una cosa volevo però puntualizzare, l'uso degi asintotici deve essere ponderato caso per caso, in quanto può portare a risultati errati, se non usato correttamente;
Ad esempio se nel limite da te proposto, a denominatore al posto di $e^(sin(x^6))-1$, avresti avuto l'espressione $e^sin(x^6)-1-x^6$,in tale situazione verrebbero coinvolti termini successivi al $1°$,cioè l'asintotico, quindi devo necessariamente usare lo sviluppo inserie di taylor superiore al $1°$ termine, cioè $e^(x^6)=1+x^6+x^12/2+o(x^16)$, petrtanto l'espressione a denominatore che posso sostituire diventa: $1+x^6+x^12/2-1-x^6=x^12/2$, ed il calcolo del limite darebbe $+infty$.
Saluti!
Una cosa volevo però puntualizzare, l'uso degi asintotici deve essere ponderato caso per caso, in quanto può portare a risultati errati, se non usato correttamente;
Ad esempio se nel limite da te proposto, a denominatore al posto di $e^(sin(x^6))-1$, avresti avuto l'espressione $e^sin(x^6)-1-x^6$,in tale situazione verrebbero coinvolti termini successivi al $1°$,cioè l'asintotico, quindi devo necessariamente usare lo sviluppo inserie di taylor superiore al $1°$ termine, cioè $e^(x^6)=1+x^6+x^12/2+o(x^16)$, petrtanto l'espressione a denominatore che posso sostituire diventa: $1+x^6+x^12/2-1-x^6=x^12/2$, ed il calcolo del limite darebbe $+infty$.
Saluti!
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