Limite con Taylor
Salve a tutti
ho provato a calcolare il seguente limite applicando gli sviluppi di Taylor:
\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-\sinh(x)}{1-\cos^2(x)} \quad \mbox{ forma indeterminata $\left[ \frac{0}{0}\right] $ }\]
Sviluppi di Taylor:
\begin{align*}
&e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^4)\\
&\sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^5)\\
&1-\cos^2(x)=1-x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^5)
\end{align*}
Considerando il primo ordine il numeratore e il denominatore si annullano, quindi dobbiamo proseguire inserendo alcuni ordini successivi.
\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-\sinh(x)}{1-\cos^2(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x-\frac{x^3}{6}-o(x^5)}{x^2-\frac{x^6}{6}+o(x^8)}=\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\]
Gradirei qualche osservazione, soprattutto in relazione all'o piccolo che non so se ho applicato correttamente.
Grazie e saluti.
Giovanni C.
ho provato a calcolare il seguente limite applicando gli sviluppi di Taylor:
\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-\sinh(x)}{1-\cos^2(x)} \quad \mbox{ forma indeterminata $\left[ \frac{0}{0}\right] $ }\]
Sviluppi di Taylor:
\begin{align*}
&e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^4)\\
&\sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^5)\\
&1-\cos^2(x)=1-x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^5)
\end{align*}
Considerando il primo ordine il numeratore e il denominatore si annullano, quindi dobbiamo proseguire inserendo alcuni ordini successivi.
\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-\sinh(x)}{1-\cos^2(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x-\frac{x^3}{6}-o(x^5)}{x^2-\frac{x^6}{6}+o(x^8)}=\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\]
Gradirei qualche osservazione, soprattutto in relazione all'o piccolo che non so se ho applicato correttamente.
Grazie e saluti.
Giovanni C.
Risposte
La forma corretta degli "o" piccolo è questa
\begin{align*}
&e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\
&\sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\
&1-\cos^2(x)=1-x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)
\end{align*}
In quanto per definizione dire che $f$ è "o" piccolo di $g$ vuol dire $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ e, in termini pratici, che l'ordine di infinitesimo della funzione a numeratore è maggiore di quello della funzione a denominatore: dal momento che in "o" piccolo sono racchiuse potenze di ordine maggiore rispetto all'ultima che scrivi, queste saranno tutte "o" piccolo di tale ultima potenza.
Ciò che fai nel seguito è tutto corretto. Ti consiglio, in futuro, per evitare di "perdere tempo" nel calcolo degli sviluppi, di partire tra quella, tra le due funzioni, più semplice, in questo caso il denominatore, e una volta determinata la sua parte principale (l'unica cosa di cui hai bisogno per il calcolo del limite) e l'ordine di infinitesimo, sviluppare l'altra funzione allo stesso ordine (qui era 2).
\begin{align*}
&e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\
&\sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\
&1-\cos^2(x)=1-x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)
\end{align*}
In quanto per definizione dire che $f$ è "o" piccolo di $g$ vuol dire $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ e, in termini pratici, che l'ordine di infinitesimo della funzione a numeratore è maggiore di quello della funzione a denominatore: dal momento che in "o" piccolo sono racchiuse potenze di ordine maggiore rispetto all'ultima che scrivi, queste saranno tutte "o" piccolo di tale ultima potenza.
Ciò che fai nel seguito è tutto corretto. Ti consiglio, in futuro, per evitare di "perdere tempo" nel calcolo degli sviluppi, di partire tra quella, tra le due funzioni, più semplice, in questo caso il denominatore, e una volta determinata la sua parte principale (l'unica cosa di cui hai bisogno per il calcolo del limite) e l'ordine di infinitesimo, sviluppare l'altra funzione allo stesso ordine (qui era 2).
Nell'espressione dello sviluppo del cos c'e' un poco di confusione: 1 messo da entrambi i lati dell'equazione e poi contesto il segno di $ x^2 $:
$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+o(x^7) $ quindi
$ cos^2(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^2/2+x^4/4+x^4/24...=1-x^2+x^4/3+... $
$ 1-cos^2(x)=x^2-x^4/3 + o(x^4) $
Perche' poi $ x^6/6 $ nel denominatore del limite?
$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+o(x^7) $ quindi
$ cos^2(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^2/2+x^4/4+x^4/24...=1-x^2+x^4/3+... $
$ 1-cos^2(x)=x^2-x^4/3 + o(x^4) $
Perche' poi $ x^6/6 $ nel denominatore del limite?
Opps, avevo letto $\cos x$ a denominatore e non $\cos^2 x$. Sorry.
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