Limite con Taylor
Io ho il seguente limite, da risolvere con McLaurin. Il professore mi ha detto che basta il primo ordine, dato che ottengo direttamente la soluzione, ovvero 2/9, ma non ho capito come si arrivi a questa conclusione. Devo modificare il limite prima di procedere, così da ricondurlo a una serie nota? Da dove mi conviene partire?
$lim_(x_to 0)$ $ln(2 -cos(2x))/(ln^2(sen(3x)+1))$
$lim_(x_to 0)$ $ln(2 -cos(2x))/(ln^2(sen(3x)+1))$
Risposte
Sia il numeratore che il denominatore si annullano del secondo ordine, nella fattispecie
\[ \ln (2-\cos 2x ) \overset{x \to 0}{\sim} 2x^2 \]
e
\[ \ln^2(1+\sin 3x) \overset{x \to 0}{\sim} 9x^2 \]
per cui
\[ \lim_{x \to 0}\, f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{9x^2} = \frac{2}{9} \]
La prima relazione asintotica si ottiene sviluppando al secondo ordine (dato che la derivata prima si annulla in \( 0 \)).
\[ \ln (2-\cos 2x ) \overset{x \to 0}{\sim} 2x^2 \]
e
\[ \ln^2(1+\sin 3x) \overset{x \to 0}{\sim} 9x^2 \]
per cui
\[ \lim_{x \to 0}\, f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{9x^2} = \frac{2}{9} \]
La prima relazione asintotica si ottiene sviluppando al secondo ordine (dato che la derivata prima si annulla in \( 0 \)).
Perfetto, grazie mille!
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