Limite con Taylor

[Mr.Mazzarr]

Devo risolvere questo limite con la formula di Taylor:
$lim_{x->0} ((senx)/x)^(1/x^2)$
Non riesco proprio a farlo. Ho provato anche a vedere il tutto come un esponente di $e$, quindi inserendo il logaritmo e moltiplicandolo all'esponente $1/x^2$ ma non riesco a proseguire. Anche se utilizzassi poi De L'Hopital, nada de nada.
Potreste darmi un input? Grazie mille.

[Antimius]

Scrivendolo come esponenziale, puoi sviluppare prima $(\sin x)/x$ e poi il logaritmo.
Infatti $\log((\sin x)/x)=\log(1-x^2/3+o(x^3))$ e ora dovresti essere capace di proseguire.

[francicko]

Io avrei fatto così:
usando taylor avrei $(x-x^3/6)/x=1-x^2/6$ pertanto abbiamo $lim ((1-x^2/6)^(6/x^2))^(1/6)$ $=(1/e)^(1/6)=(1/(e^(1/6))$, e penso che sia giusto.

[Mr.Mazzarr]

Ho un problema con questo limite che credo si debba calcolare con Taylor. Il problema è dovuto alle presenze delle radici!

$lim_{x->0} (1-sqrt(cosx))/(sqrt(1+senx) - sqrt(1-senx))$

Sono partito subito '' razionalizzando '' il denominatore, ovvero moltiplicandolo per il proprio '' coniugato ''

$lim_{x->0} (1-sqrt(cosx))/(sqrt(1+senx) - sqrt(1-senx)) * (sqrt(1+senx) + sqrt(1-senx))/(sqrt(1+senx) + sqrt(1-senx))$ $=$

$= lim_{x->0} [(1-sqrt(cosx))*(sqrt(1+senx) + sqrt(1-senx))]/(2senx)$

Ma poi non so come continuare. Anche se utilizzassi Taylor, comunque è tutto sotto radice e quindi non saprei come muovermi! Vi ringrazio per le future risposte.

[Noisemaker]

basta fare un'ulteriore "razionalizzata":
\begin{align}
...= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{2\sin x}\cdot \left(1-\sqrt {\cos x}\right)\cdot\frac{1+\sqrt {\cos x}}{1+\sqrt {\cos x}}&= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{2\sin x\cdot\left(1+\sqrt {\cos x}\right)}\cdot \left(1- \cos x \right)\\
&\sim\lim_{x\to0} \frac{2}{4 x }\cdot \frac{x^2}{2}=0.
\end{align}

[Mr.Mazzarr]

Noise, nel passaggio finale hai usato Taylor al denominatore e al numeratore, giusto?

$cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2)$
$2senx = 2x + 2o(x^3)$

[Noisemaker]

si!

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi non riesco proprio a capire dove sbaglio in questo limite (non per forza da risolvere con Taylor, ma io ho provato così):

$lim_{x->0} (arcsenx(cosx - 1))/((1+sen^(3)cosx)^(pi)-1)$

Vi scrivo le formule di Taylor che ho usato all'inizio e dopo svariate moltiplicazioni cosa mi trovo (non scrivo tutti gli o piccolo ma solo uno):

$cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2)$

$senx = x + o(x^3)$

$arcsenx = x + o(x^2)$

Alla fine mi trovo:

$lim_{x->0} (-x^3/2 + o(x^2))/((1+x^3-x^5/2+o(x^3))^(pi)-1)$

Non capisco come possa questo limite risultare $-1/(2pi)$. A me risulta $pm oo$ a $0^(pm)$.
Vi ringrazio per il futuro aiuto.

[Noisemaker]

Per il numeratore, che come hai fatto giustamente tu
\begin{align}
\arcsin x\left(\cos x-1\right)\sim-\frac{x^3}{2}+o(x^3);
\end{align}
per il denominatore, basta ricordare che, quando $x\to0$
\[(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x,\]
e quindi
\begin{align}
\left(1+\sin^3x\cos x\right)^{\pi}-1 &\sim \pi\left( \sin^3x\cos x\right) \sim \pi\left( \left(x-x^3/3!+o(x^3)\right)^3\left(1-x^2/2!+o(x^2)\right)\right)\\
&\sim \pi\left( x^3 +o(x^3)\right);
\end{align}
quindi
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x\left(\cos x-1\right)}{\left(1+\sin^3x\cos x\right)^{\pi}-1} \sim\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{2}+o(x^3)}{ \pi\left( x^3 +o(x^3)\right)}=-\frac{1}{2\pi}
\end{align}

[Mr.Mazzarr]

Mi mancava il passaggio teorico fondamentale, ovvero che l'esponente '' scende giù '' se la funzione va a zero in quel caso.

Grazie Noise!