Limite con tan(x) e sin(x) e de l'hopital

[StefanoMDj]

Questo pomeriggio mi son deciso a fare sti benedetti limiti xD
vi illustro un po' il mio procedimento
innanzitutto ecco qua il limite

per $x->0$

$(tanx-sinx)/(x^3+x^2+log(1-x^2))$

bene, la prima cosa che faccio è risolvere con de l'hopital, ottenendo così

$(1/(cos^2(x))-cosx)/(3x^2+2x-2x/(1-x^2))$

risolvendo qua e la ottengo

$((1-cos^3(x))/(cos^2(x)))*((1-x^2)/(3x^2-3x^4+2x-2x^3-2x))$

poi usando gli asintotici di primo grado (non bisogna usare taylor) ottengo

$(((1/2)*(x^6))/(1-1/2x^4)) * (1/(3x^2))$ = $1/6x^4$ ??????

il beneamato derive mi dice che il limite dovrebbe essere $1/2$ ma non capisco dove sbaglio io

[StefanoMDj]

up

[ciampax]

Nello sviluppo del coseno: tu sai che $\cos x\sim 1-x^2/2$ e quindi deve essere $\cos^3 x\sim(1-x^2/2)^3\sim 1-{3x^2}/{2}$. In ogni caso, avresti potuto risolvere tutto solo con il confronto locale, notando che

Numeratore $\tan x-\sin x=\sin x(1/\cos x-1)={\sin x(1-\cos x)}/{\cos x}\sim x\cdot x^2/2=x^3/2$
Denominatore $x^3+x^2+\log(1-x^2)\sim x^3+x^2-x^2=x^3$

e quindi il limite è

$N/D\sim {x^3/2}/x^3=1/2$.

P.S.: lo sai che non sono passate 24 ore?

[StefanoMDj]

grazie mille!!!!

P.S.: Eh dai non lo diciamo a nessuno che erano 20 e non 24.....xD