Limite con tangente

[valerio19961]

Ciao a tutti sto cercando di risolvere il seguente limite


$ lim_ (n -> +infty) (1/n)*tan((pin +1)/(2n +1))$

avete qualche suggerimento per poterlo risolvere ?

[Raptorista1]

Vediamo qualche tuo suggerimento, prima.

[valerio19961]

allora la prima cosa che mi era venuta in mente per risolvere il limite era di cosiderare il limite come

$tan((pi*n)/(2n+1) + 1/(2n+1))*(1/n) $ e applicare la formula di duplicazione della tangente in modo da avere:


$((tan((pi*n)/(2n+1)) + tan(1/(2n+1)))/(1 -tan((pi*n)/(2n+1))* tan(1/(2n+1))))*(1/n)$

una volta arrivato a questo punto so che $ tan(1/(2n+1)) $ è asintotico a $ 1/(2n+1) $ pertanto avrei

$((tan((pi*n)/(2n+1)) + 1/(2n+1))/(1 -tan((pi*n)/(2n+1))* 1/(2n+1)))*(1/n)$

ora il mio problema è che non capisco come trattare $tan((pi*n)/(2n+1))/(2n + 1)$ al denominatore e $tan((pi*n)/(2n+1)) $ al numeratore dopo aver moltiplicato per $1/n$ avrei infatti

$((tan((pi*n)/(2n+1)) + 1/(2n+1))/(n -n*tan((pi*n)/(2n+1))/(2n+1)))$

[Antimius]

E' una possibile strada, ma forse utilizzare la formula di addizione della tangente complica un po' le cose per via del denominatore.
Io osserverei prima che puoi riscrivere la successione come $\frac{\sin(\frac{\pin+1}{2n+1})}{n\cos(\frac{\pi n+1}{2n+1})}$.
Poiché $\sin(\frac{\pin+1}{2n+1}) \to \sin (\pi/2)=1$, è sufficiente studiare il limite del denominatore e poi calcolare il limite del reciproco.
In questo modo, puoi studiare il limite di $n \cos(\frac{\pin+1}{2n+1})$ sfruttando le stesse idee, ma questo dovrebbe essere un po' più agevole, non avendo la formula di addizione denominatori "fastidiosi".

[francicko]

Esatto, il limite quindi diventa $lim_(n->infty)1/(ncos((pin+1)/(2n+1))) $ $=1/(lim_(n->infty)ncos ((pin+1)/(2n+1))) $, quindi basta risolvere il limite
$lim_(n->infty)ncos((pin+1)/(2n+1)) $, ricorriamo agli archi associati, ed avremo $cos ((pin+1)/(2n+1))=sin (pi/2-(pin+1)/(2n+1)) $ $=sin((pi-2)/(4n+2)) $, ma per $n->infty$ risulta $sin((pi-2)/(4n+2))~(pi-2)/(4n+2)$, sostituendo si ha $lim_(n->infty)n×(pi-2)/(n×(4+2/n))=(pi-2)/4$, pertanto il valore finale del nostro limite sara $ lim_(n->infty)1/((pi-2)/4)=(pi-2)/4$