Limite con sviluppo di Taylor e stime asintotiche?

[darakum]

Ciao a tutti,devo risolvere questo limite con gli sviluppi di taylor con il resto di peano ("o" piccoli")

$lim x->0 (log(2x+1)-tg[log(2x+1)])/(arctg[(2^x-1)]^3)$

Per semplificare il limite posso usare le stime asintotiche e successivamente applicare taylor?

Ho pensato alla seguente per quanto riguarda il numeratore

$log(1 + x) ∼ x ---> log(1 + 2x) ∼ 2x $

QUINDI: N(x): $2x-tg(2x)$

Mentre per il denominatore come approssimo $(2^x-1)^3$ ?

Ho trovato la seguente approssimazione,ma non so se è esatta chi mi da una mano?

$(a^x-1)^α ∼ (log a)x ---> x(log2) $ oppure $log2x$ ?

[donald_zeka]

Le cosiddette "stime asintotiche" non sono altro che sviluppi di taylor al primo ordine, quando al numeratore o al denominatore hai una differenza tra funzioni, fermarsi al primo ordine non serve praticamente a nulla, quindi quella cosa che hai fatto è praticamente inutile.

Per trovare la serie di taylor di 2^x in x=0 basta usare la definizione di serie di taylor, notando che al denominatore hai solo un termine e quindi ti è sufficiente fermarti al primo ordine (cosa che non è sufficiente al numeratore).

[darakum]

"Vulplasir":Le cosiddette "stime asintotiche" non sono altro che sviluppi di taylor al primo ordine, quando al numeratore o al denominatore hai una differenza tra funzioni, fermarsi al primo ordine non serve praticamente a nulla, quindi quella cosa che hai fatto è praticamente inutile.

Per trovare la serie di taylor di 2^x in x=0 basta usare la definizione di serie di taylor, notando che al denominatore hai solo un termine e quindi ti è sufficiente fermarti al primo ordine (cosa che non è sufficiente al numeratore).

Per quanto riguarda il denominatore quinidi risulta essere $x^3log^3(2)$

Mentre come faccio ad approssimare il numeratore con taylor?

$log(2x+1) = 2x-2x^2+8/3 x^3 + o(x^3) $

Mentre $tg[log(2x+1)] $ ?

Dovrebbe essere:

$tan[log(2x+1)] = x+ x^3/3 +o(x^3) ----> 2x-2x^2+8/3 x^3 + o(x^3) + (2x-2x^2+8/3 x^3 + o(x^3))^3 /3 $

ma viene una cosa troppo enorme,impossibile da risolvere....


SEMPLIFICANDO COME HO DETTO IN PRECEDENZA CON LE STIME ASINTOTICHE:


$lim x->0 (x-tg(2x))/(arctg(xlog2))$

$tg(2x)=2x+8/3x^3+o(x^3)$
$arctg(xlog2)=xlog2- (x^3log^3 (2))/3 $

Se è corretta come cosa,risulta molto molto molto piu semplice rispetto a quello scritto in precedenza..

[francicko]

A numeratore, come giustamente detto da @Vulplasir, non puoi usare gli asintotici che altro non sono che gli sviluppi in serie di taylor arrestati al primo ordine, in quanto avendo una differenza hai sicuramente il coinvolgimento di termini successivi al primo ordine, pertanto bisogna sviluppare le serie di taylor per un ordine successivo ed essendo che si elidono anche gli elementi di ordine due bisogna sviluppare sino al termine di ordine tre, pertanto si ha:
$log (2x+1)=2x-2x^2+8x^3/3+o (x^3)$
$tg(log(2x+1))=2x-2x^2+(16)x^3/3+o(x^3)$;
A denominatore non avendo differenze o somme, invece puoi usare gli asintotici cioe lo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine:
$arctg((2^x-1))^3=arctg((e^(xlog2)-1)^3)~(xlog2)^3$
Sostituendo gli sviluppi nel limite originale si ha:
$lim_(x->0)(2x-2x^2+8x^3/3-2x+2x^2-(16)x^3/3+o(x^3))/(x^3 (log2)^3) $ $=lim_(x->0)(-8x^3/3+o (x^3))/(x^3(log2)^3)$ $=lim_(x->0)(-8x^3/3)/(x^3 (log2)^3)=-8/(3log^3(2))$
Ti è chiaro?

[darakum]

"francicko":A numeratore, come giustamente detto da @Vulplasir, non puoi usare gli asintotici che altro non sono che gli sviluppi in serie di taylor arrestati al primo ordine, in quanto avendo una differenza hai sicuramente il coinvolgimento di termini successivi al primo ordine, pertanto bisogna sviluppare le serie di taylor per un ordine successivo ed essendo che si elidono anche gli elementi di ordine due bisogna sviluppare sino al termine di ordine tre, pertanto si ha:

$tg(log(2x+1))=2x-2x^2+(16)x^3/3+o(x^3)$;
A denominatore non avendo differenze o somme, invece puoi usare gli asintotici cioe lo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine:
$arctg((2^x-1))^3=arctg((e^(xlog2)-1)^3)~(xlog2)^3$
Sostituendo gli sviluppi nel limite originale si ha:
$lim_(x->0)(2x-2x^2+8x^3/3-2x+2x^2-(16)x^3/3+o(x^3))/(x^3 (log2)^3) $ $=lim_(x->0)(-8x^3/3+o (x^3))/(x^3(log2)^3)$ $=lim_(x->0)(-8x^3/3)/(x^3 (log2)^3)=-8/(3log^3(2))$
Ti è chiaro?

Si,tutto chiaro...Solo non ho capito come hai svolto $tg(log(2x+1))=2x-2x^2+(16)x^3/3+o(x^3)$; perchè a me vengono passaggi lunghi e complessi,me li scriveresti gentilmente?

[darakum]

???

[francicko]

Mi spiace averti risposto in ritardo, ma sono un profano in materia e quindi ho voluto accertarmi che la procedura di calcolo che propongo abbia un senso;
Effettivamente come hai detto se si procede con il calcolo delle derivate successive, specie poi nel caso di funzioni composte i calcoli si complicano non poco, pertanto conviene appoggiarsi a delle funzioni il cui sviluppo e' gia noto, nel nostro specifico caso:
$log (1+t)=t-t^2/2+t^3/3+o (t^3) $
sostituendo a $t $il termine $2x $ otteniamo lo sviluppo:
$log (1+2x)=2x-4x^2/2+8x^3/3+o (x^3)=2x-2x^2+8x^3/3+o (x^3) $
Conoscendo lo sviluppo di $tan(t)=t+t^3/3+o (t^3) $
Sostituendo a $t $ i termini dello sviluppo, $log(1+2x)=2x-2x^2+8x^3/3+o (x^3) $ a $t $
avremo:
$tan(log (1+2x))=(2x-2x^2+8x^3)+(2x-2x^2+8x^3)^3/3+o (x^3)$
adesso se proviamo a sviluppare il cubo ci accorgiamo che l'unico termine di grado tre che viene fuori e' il termine $(2x)^3=8x^3$, gli altri termini saranno sicuramente $o (x^3) $ e quindi trascurabili, pertanto lo sviluppo sino al terzo ordine sara:
$tan(log (1+2x))=2x-2x^2+8x^3/3+8x^3/3+o(x^3)$ $=2x-2x^2+(16)x^3+o (x^3)$;
Ti e' chiaro il procedimento?

[darakum]

Si,tutto chiaro grazie!